Determinação da inversa do quadrado de uma matriz Nos Exercícios 37-40, calcule A^-2 de duas maneiras diferentes e mostre que os resultados são iguais.
A=[rrr-2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para calcular ,A^-2 de duas maneiras distintas e mostrar que ambas levam ao mesmo resultado. O conteúdo aqui é a inversão de matrizes diagonais e a propriedade de potências de matrizes invertíveis, segundo as quais
A^-2 = (A^-1)^2
e também
A^-2 = (A^2)^-1

Passo 2

Primeiro método: calcular A^-1 e depois elevar ao quadrado. Como
A = -2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3
é diagonal, seu inverso obtém-se invertendo cada elemento da diagonal, logo
A^-1 = -tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac13
Em seguida, como o quadrado de uma matriz diagonal é o quadrado de cada entrada,
(A^-1)^2 = l(-tfrac12r)^2 & 0 & 0 0 & 1^2 & 0 0 & 0 & l(tfrac13r)^2 = tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac19

Passo 3

Segundo método: primeiro elevar A ao quadrado e depois inverter. Como
A^2 = (-2)^2 & 0 & 0 0 & 1^2 & 0 0 & 0 & 3^2 = 4 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 9,
o inverso de A^2 é
(A^2)^-1 = tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac19

Passo 4

Comparando (A^-1)^2 e (A^2)^-1, vemos que ambas são
tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac19,
isto é, os dois métodos fornecem o mesmo resultado para A^-2.

Resposta

A^-2 = tfrac14 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & tfrac19

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