Determinação das inversas de produtos e transpostas Nos Exercícios 41-44, use as matrizes inversas para encontrar (a) (A B)^-1, (b) (A^T)^-1 e(c)(2 A)^-1.
A^-1=[rrr1 & -12 & 34 32 & 12 & -2 14 & 1 & 12], B^-1=[rrr2 & 4 & 52 -34 & 2 & 14 14 & 12 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para usar as inversas já conhecidas de A e B para determinar três novas inversas, aplicando as propriedades:
1. ,(AB)^-1=B^-1A^-1,
2. ,(A^T)^-1=(A^-1)^T,
3. ,(kA)^-1=k^-1A^-1.

Passo 2

Aplicando (AB)^-1 = B^-1 A^-1 , multiplica-se a matriz B^-1 pela matriz A^-1 .
Dados
A^-1 = 1 & -tfrac12 & tfrac34 tfrac32 & tfrac12 & -2 tfrac14 & 1 & tfrac12 , B^-1 = 2 & 4 & tfrac52 -tfrac34 & 2 & tfrac14 tfrac14 & tfrac12 & 2 ,
temos
(AB)^-1 = B^-1 A^-1 = 698 & 72 & -214 [6pt] 3716 & 138 & -7116 [6pt] 32 & 198 & -1316 ]

Passo 3

Para ,(A^T)^-1=(A^-1)^T, basta transpor A^-1:
(A^T)^-1 =(A^-1)^T = 1 & tfrac32 & tfrac14 -tfrac12 & tfrac12 & 1 tfrac34 & -2 & tfrac12

Passo 4

Para ,(2A)^-1=(2)^-1A^-1=tfrac12,A^-1, multiplicamos cada entrada de A^-1 por tfrac12:
(2A)^-1 =tfrac12,A^-1 = tfrac12 & -tfrac14 & tfrac38 tfrac34 & tfrac14 & -1 tfrac18 & tfrac12 & tfrac14

Resposta

(a) ,(AB)^-1= 698 & 72 & -214 3716 & 138 & -7116 32 & 198 & -1316
(b) ,(A^T)^-1= 1 & tfrac32 & tfrac14 -tfrac12 & tfrac12 & 1 tfrac34 & -2 & tfrac12
(c) ,(2A)^-1= tfrac12 & -tfrac14 & tfrac38 tfrac34 & tfrac14 & -1 tfrac18 & tfrac12 & tfrac14

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