Determinação das inversas de produtos e transpostas Nos Exercícios 41-44, use as matrizes inversas para encontrar (a) (A B)^-1, (b) (A^T)^-1 e(c)(2 A)^-1.
A^-1=[rrr1 & -4 & 2 0 & 1 & 3 4 & 2 & 1], B^-1=[rrr6 & 5 & -3 -2 & 4 & -1 1 & 3 & 4]

Passo 1

O enunciado nos dá as inversas das matrizes A e B:
A^-1= 1 & -4 & 2 0 & 1 & 3 4 & 2 & 1 , B^-1= 6 & 5 & -3 -2 & 4 & -1 1 & 3 & 4
e pede:
(a) (AB)^-1,
(b) l(A^Tr)^-1,
(c) (2A)^-1.
O conteúdo usado será:
  • inversa de produto: (AB)^-1=B^-1A^-1,
  • inversa de transposta: l(A^Tr)^-1=(A^-1)^T,
  • inversa de múltiplo escalar: (cA)^-1=tfrac1c,A^-1.

Passo 2

Para (a) aplicamos
(AB)^-1=B^-1A^-1
Multiplicando
B^-1= 6 & 5 & -3 -2 & 4 & -1 1 & 3 & 4 por A^-1= 1 & -4 & 2 0 & 1 & 3 4 & 2 & 1 ,
obtemos
(AB)^-1 = -6 & -25 & 24 -6 & 10 & 7 17 & 7 & 15

Passo 3

Para (b) usamos
l(A^Tr)^-1=(A^-1)^T
Como
A^-1= 1 & -4 & 2 0 & 1 & 3 4 & 2 & 1 ,
sua transposta é
(A^-1)^T = 1 & 0 & 4 -4 & 1 & 2 2 & 3 & 1 ,
que é igual a l(A^Tr)^-1.

Passo 4

Para (c) usamos
(2A)^-1=tfrac12,A^-1
Então
(2A)^-1 =tfrac12 1 & -4 & 2 0 & 1 & 3 4 & 2 & 1 = 12 & -2 & 1 0 & 12 & tfrac32 2 & 1 & 12

Resposta

(a) (AB)^-1 = -6 & -25 & 24 -6 & 10 & 7 17 & 7 & 15
(b) l(A^Tr)^-1 = 1 & 0 & 4 -4 & 1 & 2 2 & 3 & 1
(c) (2A)^-1 = 12 & -2 & 1 0 & 12 & tfrac32 2 & 1 & 12

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