Q1. (2 pontos) Usando a transformada de Laplace resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} t \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-t \frac{d y}{d t}+y=2 \\\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Resolver o problema de valor inicial dado por
\left\{\begin{array}{l} t\,\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}-t\,\dfrac{dy}{dt}+y=2,\\[6pt] y(0)=2,\quad y'(0)=-1. \end{array}\right.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial envolve multiplicação por t dos termos \dfrac{d^{2}y}{dt^{2}} e \dfrac{dy}{dt}.
  • As condições iniciais são y(0)=2 e y'(0)=-1.
  • Devemos usar a transformada de Laplace para resolver.]

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t),
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.
Aqui s é a variável do domínio transformado (um número real positivo grande o suficiente), e t é a variável original do tempo.
  • Transformada de derivadas (fórmulas padrão): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Essas fórmulas aparecem integrando por partes e usam as condições iniciais y(0) e y'(0).
  • Propriedade da multiplicação por t: para qualquer f,
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\big(\mathcal{L}\{f\}(s)\big).
Isto é útil porque temos termos t\,y' e t\,y''.
  • Transformadas simples que vamos usar no final:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira.
  • Denotemos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Usando as fórmulas acima, primeiro calculamos as transformadas internas:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0).
  • Pela propriedade da multiplicação por t:
\mathcal{L}\{t\,y''\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big),
\mathcal{L}\{t\,y'\}(s)=-\dfrac{d}{ds}\big(sY(s)-y(0)\big).
  • A transformada do termo y é simplesmente Y(s), e a transformada da constante 2 é 2/s.
Agora escrevemos a equação transformada (aplicando Laplace termo a termo):
-\dfrac{d}{ds}\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)\;-\;\dfrac{d}{ds}\big(-\big(sY(s)-y(0)\big)\big)\;+\;Y(s)=\dfrac{2}{s}.
Notei que o sinal do segundo termo vem do fato que na equação havia -t\,y'.

Passo 4

Substituir as condições iniciais e simplificar as derivadas.
  • Substituímos y(0)=2 e y'(0)=-1. Então
s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-2s+1.
Seu derivado em s é
\dfrac{d}{ds}\big(s^{2}Y-2s+1\big)=2sY+s^{2}Y'-2,
onde Y'=\dfrac{dY}{ds}.
  • Também
sY(s)-y(0)=sY-2,\qquad \dfrac{d}{ds}(sY-2)=Y+sY'.
  • Substituindo esses resultados na equação transformada:
-\big(2sY+s^{2}Y'-2\big)+\big(Y+sY'\big)+Y=\dfrac{2}{s}.
  • Agrupando termos semelhantes (termos com Y', com Y e constantes):
(-s^{2}Y'+sY')+(-2sY+Y+Y)+(2)=\dfrac{2}{s}.
  • Simplificando:
-s^{2}Y'+sY' = -s(s-1)Y',
-2sY+Y+Y = -2sY+2Y = 2(1-s)Y.
Assim obtemos
-s(s-1)Y' + 2(1-s)Y + 2 = \dfrac{2}{s}.

Passo 5

Isolar e simplificar para obter uma EDO em Y(s).
  • Observe que -s(s-1)=s(1-s). Então a equação fica
s(1-s)Y' + 2(1-s)Y + 2 = \dfrac{2}{s}.
  • Colocamos os termos que têm fator 1-s juntos:
(1-s)\big(sY' + 2Y\big) + 2 = \dfrac{2}{s}.
  • Subtraindo 2 de ambos os lados:
(1-s)\big(sY' + 2Y\big) = \dfrac{2}{s}-2 = \dfrac{2(1-s)}{s}.
  • Como aparece o fator (1-s) em ambos os lados (para s\neq 1 — tratamos s como variável contínua no domínio da transformada), podemos dividir por (1-s), obtendo uma equação linear de primeira ordem simples:
sY' + 2Y = \dfrac{2}{s}.
  • Dividindo por s (assumindo s\neq 0), a equação fica na forma padrão
Y' + \dfrac{2}{s}Y = \dfrac{2}{s^{2}}.

Passo 6

Resolver a EDO para Y(s) usando fator integrante.
  • O fator integrante é
\mu(s)=\exp\!\Big(\int \dfrac{2}{s}\,ds\Big)=\exp(2\ln s)=s^{2}.
  • Multiplicando a equação por s^{2}:
s^{2}Y' + 2sY = 2.
  • O lado esquerdo é a derivada de s^{2}Y, ou seja,
\dfrac{d}{ds}\big(s^{2}Y\big)=2.
  • Integrando em s:
s^{2}Y(s)=2s + C,
onde C é constante de integração.
  • Portanto
Y(s)=\dfrac{2}{s} + \dfrac{C}{s^{2}}.

Passo 7

Determinar a constante C usando comportamento assintótico de Y(s).
  • Uma propriedade útil da transformada de Laplace é a expansão assintótica para grande s:
Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s)=\dfrac{y(0)}{s}+\dfrac{y'(0)}{s^{2}}+\cdots \quad (s\to\infty).
Isso vem da expansão do integral exponencial ou das transformadas de derivadas.
  • Como y(0)=2 e y'(0)=-1, a expansão deve começar por
Y(s)=\dfrac{2}{s}+\dfrac{-1}{s^{2}}+\cdots.
  • Comparando com a expressão Y(s)=\dfrac{2}{s}+\dfrac{C}{s^{2}}, concluímos que C=-1.

Passo 8

Obter y(t) pela transformada inversa.
  • Com C=-1 temos
Y(s)=\dfrac{2}{s}-\dfrac{1}{s^{2}}.
  • Aplicando a transformada inversa termo a termo:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\Big\{\dfrac{2}{s}\Big\}-\mathcal{L}^{-1}\Big\{\dfrac{1}{s^{2}}\Big\}=2 - t,
pois \mathcal{L}^{-1}\{1/s\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{1/s^{2}\}=t.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar na prova!):
  • y(t)=2-t y'(t)=-1 e y''(t)=0.
  • Substituindo na equação original:
t\cdot 0 - t\cdot(-1) + (2-t) = t + 2 - t = 2,
confere com o lado direito. As condições iniciais também conferem: y(0)=2, y'(0)=-1.

Resposta

y(t)=2-t

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