Q1. (2 pontos) Usando a transformada de Laplace resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O que o problema pede:
- Resolver o problema de valor inicial dado por
Informações fornecidas:
- A equação diferencial envolve multiplicação por
dos termos e . - As condições iniciais são
e . - Devemos usar a transformada de Laplace para resolver.]
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
,
Aqui
é a variável do domínio transformado (um número real positivo grande o suficiente), e
é a variável original do tempo.
- Transformada de derivadas (fórmulas padrão): se
, então
Essas fórmulas aparecem integrando por partes e usam as condições iniciais
e
.
- Propriedade da multiplicação por
: para qualquer ,
Isto é útil porque temos termos
e
.
- Transformadas simples que vamos usar no final:
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação inteira.
- Denotemos
. - Usando as fórmulas acima, primeiro calculamos as transformadas internas:
- Pela propriedade da multiplicação por
:
- A transformada do termo
é simplesmente , e a transformada da constante é .
Agora escrevemos a equação transformada (aplicando Laplace termo a termo):
Notei que o sinal do segundo termo vem do fato que na equação havia
.
Passo 4
Substituir as condições iniciais e simplificar as derivadas.
- Substituímos
e . Então
Seu derivado em
é
onde
.
- Também
- Substituindo esses resultados na equação transformada:
- Agrupando termos semelhantes (termos com
, com e constantes):
- Simplificando:
Assim obtemos
Passo 5
Isolar e simplificar para obter uma EDO em
.
- Observe que
. Então a equação fica
- Colocamos os termos que têm fator
juntos:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Como aparece o fator
em ambos os lados (para — tratamos como variável contínua no domínio da transformada), podemos dividir por , obtendo uma equação linear de primeira ordem simples:
- Dividindo por
(assumindo ), a equação fica na forma padrão
Passo 6
Resolver a EDO para
usando fator integrante.
- O fator integrante é
- Multiplicando a equação por
:
- O lado esquerdo é a derivada de
, ou seja,
- Integrando em
:
onde
é constante de integração.
- Portanto
Passo 7
Determinar a constante
usando comportamento assintótico de
.
- Uma propriedade útil da transformada de Laplace é a expansão assintótica para grande
:
Isso vem da expansão do integral exponencial ou das transformadas de derivadas.
- Como
e , a expansão deve começar por
- Comparando com a expressão
, concluímos que .
Passo 8
Obter
pela transformada inversa.
- Com
temos
- Aplicando a transformada inversa termo a termo:
pois
e
.
Passo 9
Verificação rápida (sempre bom checar na prova!):
-
dá e . - Substituindo na equação original:
confere com o lado direito. As condições iniciais também conferem:
,
.