Em uma determinada cidade
dos habitantes utilizam o produto da marca Abba. Foi realizada uma pesquisa por amostragem probabilística com 200 habitantes, sendo X a variável aleatória número de habitantes na amostra que utilizam o produto da marca Abba.
a) Qual é o modelo probabilístico adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que mais de 30 dos habitantes pesquisados utilizem o produto da marca Abba.
c) Neste problema é viável aproximar a distribuição de X por uma normal? Por quê?
a) Qual é o modelo probabilístico adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que mais de 30 dos habitantes pesquisados utilizem o produto da marca Abba.
c) Neste problema é viável aproximar a distribuição de X por uma normal? Por quê?
Passo 1
A questão traz uma amostra probabilística de tamanho n = 200 num população em que p = 0,2 dos indivíduos usam o produto Abba. Definimos X como o número de “sucessos” (usuários do produto) na amostra. Vamos precisar identificar o modelo de probabilidade de X, escrever a fórmula de P(X>30) e checar se podemos usar aproximação normal.
Passo 2
Cada indivíduo na amostra é um ensaio de Bernoulli com probabilidade p = 0,2 de “sucesso”, com ensaios independentes e número fixo de repetições n = 200. Isso caracteriza uma distribuição binomial. Logo,
X segue a distribuição
X segue a distribuição
Passo 3
Para calcular a probabilidade de que mais de 30 pesquisados usem o produto Abba, escrevemos
Passo 4
Para usar a aproximação normal via Teorema do Limite Central, verificamos se np e n(1–p) são grandes:
ambos maiores que 10. Portanto, podemos aproximar X por
[
X \approx \mathcal{N}\bigl(\mu = np = 40,;\sigma^2 = np(1-p) = 32\bigr).
X \approx \mathcal{N}\bigl(\mu = np = 40,;\sigma^2 = np(1-p) = 32\bigr).
Resposta
a) X~Bin(200, 0.2). b) P(X>30)=\sum_{k=31}{200}\binom{200}{k}(0.2)k(0.8)^{200-k}. c) Sim. Como np=40 e n(1–p)=160>10, vale a aproximação normal X≈N(40, 32).