Em um teste de múltipla escolha temos 200 questões, cada uma com 4 possíveis respostas, das quais apenas 1 é correta. Dentre as 200 questões, sobre 80 ele não sabe nada. Seja X a variável aleatória número de questões acertadas pelo estudante dentre as 80 sobre as quais ele não sabe nada.
a) Qual é o modelo probabilístico adequado para este caso? Por quê?
b) Esquematize a expressão para cálculo da probabilidade de que o estudante acerte entre 25 e 30 questões dentre as 80 sobre as quais ele não sabe nada, considerando o modelo definido na letra a.
c) Neste problema é viável aproximar a distribuição de X por uma normal? Por quê?
d) Independente da resposta da letra c desenhe a curva normal e sombreie a área correspondente à probabilidade procurada na letra b (não se esqueça da correção de continuidade).
e) Qual é a probabilidade de que um estudante acerte entre 25 e 30 questões dentre as 80 das quais ele não sabe nada de acordo com a aproximação pela normal? (R.: 0,1196)

Passo 1

O enunciado fala de 80 questões sobre as quais o estudante “chuta” completamente, cada chute tem 4 alternativas com 1 certa. Definimos X = número de acertos nesses 80 chutes. Vamos usar distribuição binomial e depois aproximar por normal com correção de continuidade.

Passo 2

Como são 80 ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p = 1/4 (acerto) e fracasso q = 3/4 (erro), o modelo adequado é a distribuição binomial. Ou seja,
A expressão para P(25 ≤ X ≤ 30) fica
P(25<= X<=30)=sumk=25^30 binom80k(0.25)^k(0.75)^80-k

Passo 3

Para aproximar por normal precisamos que np e nq sejam maiores que 5. Aqui np = 80·0.25 = 20 e nq = 80·0.75 = 60, ambos > 5, então a aproximação normal é viável.
Na aproximação normal usamos μ = np = 20 e σ = raiznpq=raiz80·0.25·0.75=raiz15approx3.873. Pela correção de continuidade sombreamos a área entre X = 24.5 e X = 30.5 sob a curva de densidade normal com esses parâmetros.

Passo 4

Padronizando:
z1=24.5-20raiz15approx1.162, z2=30.5-20raiz15approx2.709

Passo 5

Então
P(25<= X<=30)approx Φ(2.709)-Φ(1.162)approx0.9966-0.8770=0.1196

Resposta

0,1196

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