2- Em uma determinada cidade, com o objetivo de avaliar o padrão do ensino das escolas de ensino médio, compararam-se as médias obtidas nas disciplinas Português, Matemática, Física e Química (tratamentos), segundo a categoria da escola de origem do aluno, seja ela federal, estadual, municipal ou particular (blocos). Existe diferença estatisticamente significante entre os aproveitamentos dos alunos em relação às disciplinas cursadas? Existe diferença no padrão de ensino conforme a categoria da escola? Considerar nível de significância de 5 \%. (Valor 0,00 a 2,00 \mathrm{pts} )
Table 1: Tabela - Análise da variância para comparar as médias das notas das disciplinas (tratamentos) conforme o tipo de escola (blocos)
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Médias nas disciplinas Total do bloco (TB)
Português Matemática Física Quimica
Tipo de escola
Federal 6 9 9 6 30
Estadual 9 8 6 5 28
Municipal 9 7 7 4 27
Particular 8 8 6 5 27
Totais ( \sum \mathrm{x} ) 32 32 28 20 112
Médias ( \bar{x} ) 8 8 7 5
\Sigma x^{2} 262 258 202 102 824

Passo 1

O enunciado pede uma análise de variância bidirecional sem replicação para comparar:
  • Tratamentos = disciplinas (Português, Matemática, Física, Química)
  • Blocos = tipo de escola (federal, estadual, municipal, particular)
    Queremos saber, a 5 % de significância, se há diferenças entre as médias das disciplinas (efeito tratamento) e se há diferenças entre as médias segundo o tipo de escola (efeito bloco).

Passo 2

Calcular a soma de quadrados total, sabendo que \displaystyle N=4\times4=16, \displaystyle T=\sum_{i,j}x_{ij}=112 e \displaystyle \sum x_{ij}^2=824.
SS_{\text{Total}} = \sum x_{ij}^2 \;-\;\frac{T^2}{N} =824 \;-\;\frac{112^2}{16} =824 - 784 =40.

Passo 3

Calcular a soma de quadrados dos tratamentos (disciplinas). Os totais por disciplina são 32,32,28,20, e cada uma aparece em b=4 blocos:
SS_{\text{Trat}} = \sum_{j=1}^4 \frac{T_j^2}{b} \;-\;\frac{T^2}{N} =\frac{32^2+32^2+28^2+20^2}{4} - 784 =\frac{3232}{4}-784 =808-784 =24.

Passo 4

Calcular a soma de quadrados dos blocos (escolas). Os totais por bloco são 30,28,27,27, cada um sobre a=4 tratamentos:
SS_{\text{Bloc}} = \sum_{i=1}^4 \frac{B_i^2}{a} \;-\;\frac{T^2}{N} =\frac{30^2+28^2+27^2+27^2}{4} - 784 =\frac{3142}{4}-784 =785{,}5-784 =1{,}5.

Passo 5

A soma de quadrados do resíduo (erro) é
SS_E = SS_{\text{Total}} - SS_{\text{Trat}} - SS_{\text{Bloc}} =40 - 24 - 1{,}5 =14{,}5.
Os graus de liberdade são \displaystyle df_{\text{Trat}}=4-1=3, \displaystyle df_{\text{Bloc}}=4-1=3, \displaystyle df_E=(4-1)(4-1)=9.
Logo as médias quadráticas: \displaystyle MS_{\text{Trat}}=24/3=8, \displaystyle MS_{\text{Bloc}}=1{,}5/3=0{,}5, \displaystyle MSE=14{,}5/9\approx1{,}611.

Passo 6

Testes F a 5 % com F_{(3,9;0,05)}\approx3{,}86:
F_{\text{Trat}}=\frac{MS_{\text{Trat}}}{MSE}=\frac{8}{1{,}611}\approx4{,}97 >3{,}86 \quad\Longrightarrow\quad\text{rejeita hipótese de médias iguais (diferença significativa).}óéç
F_{\text{Bloc}}=\frac{MS_{\text{Bloc}}}{MSE}=\frac{0{,}5}{1{,}611}\approx0{,}31 <3{,}86 \quad\Longrightarrow\quad\text{não rejeita hipótese de médias iguais (sem diferença).}ãóéç

Resposta

Existe diferença estatisticamente significativa entre as médias das disciplinas (tratamentos).
Não existe diferença estatisticamente significativa segundo a categoria de escola (blocos).

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