Determine o volume do sólido por rotação na região limitada pelas curvas atribuídas sobre o eixo especificado.
(a) 0 \leq y \leq \frac{x^{2}}{4}, x=2 em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano limitada por
  • a curva \,y=\tfrac{x^2}{4},
  • o eixo x y=0,
  • e a reta vertical x=2.
    O conteúdo aplicado é o método das cascas cilíndricas, pois giramos uma região que tem melhor descrição em fatias verticais x=\text{const}.

Passo 2

Em cada fatia vertical de espessura dx, a casca cilíndrica resultante tem:
• raio =x (distância ao eixo y),
• altura =y_{\rm topo}-y_{\rm base}=\tfrac{x^2}{4}-0=\tfrac{x^2}{4}.
Assim, o volume elementar é
dV = 2\pi\,(\,\text{raio}\,)\,( \,\text{altura}\,)\,dx =2\pi\,x\;\frac{x^2}{4}\;dx =\frac{\pi}{2}\,x^3\,dx.
As fatias vão de x=0 até x=2.

Passo 3

Montamos e calculamos a integral:
V = \int_{0}^{2} \frac{\pi}{2}\,x^3\,dx = \frac{\pi}{2}\,\Bigl[\frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{2} = \frac{\pi}{2}\,\frac{2^4}{4} = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{16}{4} =2\pi.

Resposta

O volume do sólido é 2\pi.

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