Uma máquina foi projetada para encher caixas de leite com 985 mililitros e desvio padrão de 90 mililitros. Qual é a probabilidade da média amostral de um conjunto de 50 caixas de leite escolhidas aleatoriamente superar o limite de 1 litro?
(a) 0.622
(b) 0.818
© 0.433
(d) 0.119
(e) 0.464
(a) 0.622
(b) 0.818
© 0.433
(d) 0.119
(e) 0.464
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma máquina que enche caixas de leite com uma média de 985 mililitros e um desvio padrão de 90 mililitros. Queremos saber a probabilidade de, ao escolher 50 caixas aleatoriamente, a média dessas caixas seja maior que 1 litro (ou seja, 1000 mililitros). Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente, a Distribuição Normal e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o Teorema Central do Limite. Esse teorema diz que, independentemente da distribuição original dos dados, se temos uma amostra grande o suficiente (geralmente n ≥ 30 é considerado suficiente), a distribuição das médias amostrais será aproximadamente normal. Isso nos permite usar a Distribuição Normal para calcular probabilidades, mesmo que a distribuição original não seja normal.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Erro Padrão da Média. O erro padrão nos diz quão distante a média da amostra pode estar da média da população. A fórmula para o erro padrão (SE) é:
Onde:
-
é o desvio padrão da população (90 ml) -
é o tamanho da amostra (50)
Vamos calcular:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de a média amostral ser maior que 1000 ml. Para isso, vamos calcular o escore Z, que nos ajuda a entender quantos erros padrão a média amostral está acima da média da população. A fórmula para o escore Z é:
Onde:
-
é a média amostral desejada (1000 ml) -
é a média da população (985 ml) -
é o erro padrão que calculamos (~12,727 ml)
Vamos calcular:
Passo 5
Com o escore Z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na Tabela da Distribuição Normal. O valor de Z ≈ 1,1785 nos diz quantos desvios padrão acima da média a nossa média amostral está. Queremos a probabilidade de a média amostral ser maior que 1000 ml, ou seja, a área à direita de Z = 1,1785.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 11,9% de chance de a média das 50 caixas selecionadas ser maior que 1 litro.
Resposta
A probabilidade é 0.119 (alternativa d).