Determinada empresa seguradora baseia o seu sistema de prêmios para determinado risco na premissa de que o número de sinistros por apólice tem distribuição Poisson de parâmetro
. Numa amostra de 1000 apólices referentes ao ano anterior observou-se:
Número de sinistros | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
Número de apólices | 800 | 175 | 21 | 4 |
Teste, ao nível de significância de
, a hipótese da suposição da empresa seguradora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma seguradora acredita que o número de sinistros por apólice segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Eles observaram, num ano, 1000 apólices com os seguintes resultados:
Número de sinistros | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|
Número de apólices | 800 | 175 | 21 | 4 |
Queremos testar, com nível de significância de 1%, se essa suposição da empresa está correta. Para isso, vamos usar o teste de aderência (goodness-of-fit) da distribuição de Poisson.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as frequências esperadas para cada número de sinistros usando a distribuição de Poisson com
. A fórmula da função de probabilidade da Poisson é:
onde
é o número de sinistros.
Passo 3
Vamos calcular
para
.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, multiplicamos cada
pelo total de apólices (1000) para obter as frequências esperadas:
Passo 5
Comparamos as frequências observadas com as esperadas:
Número de sinistros | Observado (O) | Esperado (E) |
---|---|---|
0 | 800 | 818,7 |
1 | 175 | 163,7 |
2 | 21 | 16,4 |
3 | 4 | 2,2 |
Passo 6
Calculamos o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
Vamos calcular cada termo:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Somando tudo:
Passo 7
Determinaos os graus de liberdade. Como temos 4 categorias de sinistros e estimamos 1 parâmetro (
), os graus de liberdade são:
Passo 8
Consultamos a tabela qui-quadrado para
e nível de significância de 1%. O valor crítico é aproximadamente
.
Passo 9
Comparamos o valor calculado do
com o valor crítico:
Resposta
Como
é menor que
, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências insuficientes para dizer que a distribuição de sinistros difere da assumida pela empresa seguradora.