Determinada empresa seguradora baseia o seu sistema de prêmios para determinado risco na premissa de que o número de sinistros por apólice tem distribuição Poisson de parâmetro lambda=0,2. Numa amostra de 1000 apólices referentes ao ano anterior observou-se:
Número de sinistros 0 1 2 3
Número de apólices 800 175 21 4
Teste, ao nível de significância de 1 %, a hipótese da suposição da empresa seguradora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que uma seguradora acredita que o número de sinistros por apólice segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 0,2. Eles observaram, num ano, 1000 apólices com os seguintes resultados:
Número de sinistros 0 1 2 3
Número de apólices 800 175 21 4
Queremos testar, com nível de significância de 1%, se essa suposição da empresa está correta. Para isso, vamos usar o teste de aderência (goodness-of-fit) da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as frequências esperadas para cada número de sinistros usando a distribuição de Poisson com lambda = 0,2. A fórmula da função de probabilidade da Poisson é:
P(k) = e^-lambda lambda^kk!
onde k é o número de sinistros.

Passo 3

Vamos calcular P(k) para k = 0, 1, 2, 3.
Para k=0:
P(0) = e^-0,2 cdot 0,2^00! = e^-0,2 approx 0,8187
Para k=1:
P(1) = e^-0,2 cdot 0,2^11! = 0,2 cdot e^-0,2 approx 0,1637
Para k=2:
P(2) = e^-0,2 cdot 0,2^22! = 0,04 cdot e^-0,22 approx 0,0164
Para k=3:
P(3) = e^-0,2 cdot 0,2^33! = 0,008 cdot e^-0,26 approx 0,0022

Passo 4

Agora, multiplicamos cada P(k) pelo total de apólices (1000) para obter as frequências esperadas:
  • E0 = 1000 times 0,8187 approx 818,7
  • E1 = 1000 times 0,1637 approx 163,7
  • E2 = 1000 times 0,0164 approx 16,4
  • E3 = 1000 times 0,0022 approx 2,2

Passo 5

Comparamos as frequências observadas com as esperadas:
Número de sinistros Observado (O) Esperado (E)
0 800 818,7
1 175 163,7
2 21 16,4
3 4 2,2

Passo 6

Calculamos o valor do teste qui-quadrado usando a fórmula:
chi^2 = sum (O - E)^2E
Vamos calcular cada termo:
  • Para k=0: (800 - 818,7)^2818,7 approx ( -18,7)^2818,7 approx 349,69818,7 approx 0,427
  • Para k=1: (175 - 163,7)^2163,7 approx (11,3)^2163,7 approx 127,69163,7 approx 0,780
  • Para k=2: (21 - 16,4)^216,4 approx (4,6)^216,4 approx 21,1616,4 approx 1,291
  • Para k=3: (4 - 2,2)^22,2 approx (1,8)^22,2 approx 3,242,2 approx 1,473
Somando tudo:
chi^2 approx 0,427 + 0,780 + 1,291 + 1,473 approx 3,971

Passo 7

Determinaos os graus de liberdade. Como temos 4 categorias de sinistros e estimamos 1 parâmetro ( lambda), os graus de liberdade são:
df = número de categorias - 1 - número de parâmetros = 4 - 1 - 1 = 2 úúâ

Passo 8

Consultamos a tabela qui-quadrado para df = 2 e nível de significância de 1%. O valor crítico é aproximadamente 9,21.

Passo 9

Comparamos o valor calculado do chi^2 com o valor crítico:
3,971 < 9,21

Resposta

Como 3,971 é menor que 9,21, não rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências insuficientes para dizer que a distribuição de sinistros difere da assumida pela empresa seguradora.

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