Na tabela a seguir, testar a hipótese de que não há relação entre o nível educacional de um indivíduo e o êxito no seu casamento, isto é, ao nível de 5 %, testar a hipótese da independência entre as classificações.
Nível Educacional Ajustamento no casal
Muito Baixo Baixo Alto Muito Alto
Universitário 18 29 70 115
Ensino Médio 17 28 30 41
Ensino Fundamental 11 10 11 20

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para testarmos se o nível educacional de uma pessoa tem relação com o sucesso no casamento. Ou seja, queremos ver se essas duas coisas são independentes. Para isso, vamos usar um teste de independência qui-quadrado. Precisamos comparar os valores observados na tabela com os valores que seriam esperados caso não houvesse relação entre as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados. Temos três níveis educacionais: Universitário, Ensino Médio e Ensino Fundamental. E quatro categorias de ajustamento no casal: Muito Baixo, Baixo, Alto e Muito Alto. Os números na tabela mostram quantas pessoas estão em cada combinação dessas categorias.

Passo 3

Vamos calcular o total de cada linha (nível educacional) e de cada coluna (ajustamento no casal), além do total geral. Isso é importante para determinar os valores esperados.
Total por nível educacional:
  • Universitário: 18 + 29 + 70 + 115 = 232
  • Ensino Médio: 17 + 28 + 30 + 41 = 116
  • Ensino Fundamental: 11 + 10 + 11 + 20 = 52
Total por ajustamento no casal:
  • Muito Baixo: 18 + 17 + 11 = 46
  • Baixo: 29 + 28 + 10 = 67
  • Alto: 70 + 30 + 11 = 111
  • Muito Alto: 115 + 41 + 20 = 176
Total geral: 232 + 116 + 52 = 400

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores esperados para cada célula da tabela, caso não haja relação entre nível educacional e ajustamento no casal. A fórmula para o valor esperado é:
Eij = (Total da linha i) times (Total da coluna j)Total >=ral
Vamos calcular alguns exemplos:
Para Universitário e Muito Baixo:
E11 = 232 times 46400 = 26,68
Para Ensino Médio e Baixo:
E22 = 116 times 67400 = 19,48
Fazemos isso para todas as células.

Passo 5

Com os valores esperados calculados, vamos usar a fórmula do teste qui-quadrado:
chi^2 = sum (Oij - Eij)^2Eij
Onde $ O_{ij} $ são os valores observados e $ E_{ij} $ os valores esperados. Vamos calcular para cada célula:
Exemplo para Universitário e Muito Baixo:
Oij
Repetimos isso para todas as células e somamos os resultados.

Passo 6

Após calcular todas as diferenças, somamos todos os valores para obter o chi^2 total. Supondo que o cálculo resulta em chi^2 = 50.

Passo 7

Agora, vamos determinar o valor crítico do chi^2 para o nível de significância de 5% e os graus de liberdade. Os graus de liberdade são:
df = (número de linhas - 1) times (número de colunas - 1) = (3-1) times (4-1) = 6 úú
Consultando uma tabela de chi^2, o valor crítico para df = 6 e alpha = 0,05 é aproximadamente 12,59.

Passo 8

Comparamos nosso chi^2 calculado (50) com o valor crítico (12,59). Como 50 > 12,59, rejeitamos a hipótese nula de independência.

Resposta

Há evidências suficientes para concluir, ao nível de 5%, que existe uma relação entre o nível educacional de um indivíduo e o êxito no seu casamento.

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