Suponha que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água de um lago seja 5.
Qual a probabilidade de que no máximo 4 colônias sejam achadas em uma amostra de 30 ml de água desse lago?
Qual a probabilidade de que no máximo 4 colônias sejam achadas em uma amostra de 30 ml de água desse lago?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que o número médio de colônias de bactérias em 10 ml de água é 5. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de encontrar no máximo 4 colônias em uma amostra maior, de 30 ml. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo, especialmente quando os eventos são raros e independentes.
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar o número médio de colônias para a nova quantidade de água, que é 30 ml. Sabemos que em 10 ml há, em média, 5 colônias. Então, para 30 ml (que é 3 vezes mais), a média será:
Aqui,
representa o valor médio esperado de colônias na amostra de 30 ml.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ter no máximo 4 colônias. A fórmula da Poisson é:
Mas como queremos a probabilidade de
, vamos somar as probabilidades de
,
,
,
e
:
Passo 4
Vamos calcular cada termo da soma:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora, somamos todos esses termos:
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos
:
Multiplicando pelo valor anterior:
Resposta
A probabilidade de encontrar no máximo 4 colônias de bactérias em uma amostra de 30 ml de água é aproximadamente 0,0855%.