Suponha que o número médio de colônias de bactérias por 10 ml de água de um lago seja 5.
Qual a probabilidade de que no máximo 4 colônias sejam achadas em uma amostra de 30 ml de água desse lago?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que o número médio de colônias de bactérias em 10 ml de água é 5. A pergunta quer saber qual é a probabilidade de encontrar no máximo 4 colônias em uma amostra maior, de 30 ml. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição de Poisson, que é ótima para calcular probabilidades de eventos que acontecem em um intervalo fixo de espaço ou tempo, especialmente quando os eventos são raros e independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar o número médio de colônias para a nova quantidade de água, que é 30 ml. Sabemos que em 10 ml há, em média, 5 colônias. Então, para 30 ml (que é 3 vezes mais), a média será:
lambda = 5 times 3 = 15
Aqui, lambda representa o valor médio esperado de colônias na amostra de 30 ml.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular a probabilidade de ter no máximo 4 colônias. A fórmula da Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Mas como queremos a probabilidade de X <= 4, vamos somar as probabilidades de X = 0, X = 1, X = 2, X = 3 e X = 4:
P(X <= 4) = sumk=0^4 e^-15 times 15^kk!

Passo 4

Vamos calcular cada termo da soma:
  1. Para k = 0:
P(X = 0) = e^-15 times 15^00! = e^-15 times 1 = e^-15
  1. Para k = 1:
P(X = 1) = e^-15 times 15^11! = e^-15 times 15
  1. Para k = 2:
P(X = 2) = e^-15 times 15^22! = e^-15 times 2252
  1. Para k = 3:
P(X = 3) = e^-15 times 15^33! = e^-15 times 33756
  1. Para k = 4:
P(X = 4) = e^-15 times 15^44! = e^-15 times 5062524

Passo 5

Agora, somamos todos esses termos:
P(X <= 4) = e^-15 (1 + 15 + 2252 + 33756 + 5062524)
Calculando os valores dentro dos parênteses:
1 + 15 = 16
16 + 2252 = 16 + 112.5 = 128.5
128.5 + 33756 = 128.5 + 562.5 = 691
691 + 5062524 = 691 + 2105.2083 approx 2796.2083
Então:
P(X <= 4) = e^-15 times 2796.2083

Passo 6

Agora, calculamos e^-15:
e^-15 approx 3.059 times 10^-7
Multiplicando pelo valor anterior:
P(X <= 4) approx 3.059 times 10^-7 times 2796.2083 approx 0.000855

Resposta

A probabilidade de encontrar no máximo 4 colônias de bactérias em uma amostra de 30 ml de água é aproximadamente 0,0855%.

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