(Série de Taylor) Obtenha a série de Taylor da função
f(x)=\cos (x)
centrada em x=\pi / 2, até termos de ordem (x-\pi / 2)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\cos(x) em torno de a=\pi/2 até os termos de ordem (x-\pi/2)^3. Vamos usar a fórmula
f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)
com n=3.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e seus valores em a=\pi/2:
f(x)=\cos x,\quad f(\pi/2)=0,
f'(x)=-\sin x,\quad f'(\pi/2)=-1,
f''(x)=-\cos x,\quad f''(\pi/2)=0,
f'''(x)=\sin x,\quad f'''(\pi/2)=1.

Passo 3

Substituímos na fórmula de Taylor até k=3, com h=x-\pi/2:
\cos x \approx f(\pi/2) + f'(\pi/2)\,h + \frac{f''(\pi/2)}{2!}h^2 + \frac{f'''(\pi/2)}{3!}h^3,
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\cos x \approx 0 + (-1)\,h + 0\cdot\frac{h^2}{2} + 1\cdot\frac{h^3}{6} = -h + \frac{h^3}{6}.

Passo 4

Voltando a h=x-\pi/2, a expansão até a ordem (x-\pi/2)^3 fica
\cos x \approx -(x-\tfrac{\pi}{2}) + \frac{1}{6}(x-\tfrac{\pi}{2})^3.

Resposta

\boxed{\cos x = -(x-\tfrac{\pi}{2}) + \tfrac{1}{6}(x-\tfrac{\pi}{2})^3 + o\bigl((x-\tfrac{\pi}{2})^3\bigr).}

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