Determinada firma desejava comprar cabos tendo recebido do fabricante a informação de que a tensão média de ruptura é 8000 kgf . Para analisar se a afirmação do fabricante é verdadeira, efetuou-se um teste de hipótese. Se um ensaio com 6 cabos forneceu uma tensão média de ruptura de 7750 kgf , com desvio padrão de 145 kgf , a qual conclusão chegar, usando um nível de significância de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre teste de hipótese na área de estatística. A firma quer saber se a média da tensão de ruptura dos cabos realmente é 8000 kgf, conforme o fabricante disse. Para isso, eles fizeram um teste com 6 cabos, e a média obtida foi 7750 kgf, com um desvio padrão de 145 kgf. Vamos usar um nível de significância de 5% para ver se a afirmação do fabricante é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, precisamos formular as hipóteses para o teste. A hipótese nula ($ H_0 $) é que a média verdadeira é igual a 8000 kgf, ou seja:
A hipótese alternativa ($ H_a $) é que a média verdadeira é diferente de 8000 kgf:
Isso é um teste bilateral, porque estamos verificando se a média é diferente, seja maior ou menor.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como temos uma amostra pequena (n = 6) e não conhecemos a variância da população, usaremos o teste t de Student. A fórmula para o t é:
Onde:
- $ \bar{x} = 7750 , kgf $ (média amostral)
- $ \mu_0 = 8000 , kgf $ (média hipotética)
- $ s = 145 , kgf $ (desvio padrão amostral)
- $ n = 6 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 4
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o valor de t:
Passo 5
Precisamos agora encontrar o valor crítico para o teste t com nível de significância de 5% e $ df = n - 1 = 5 $ graus de liberdade. Olhando na tabela t de Student, para um teste bilateral com $ \alpha = 0,05 $ e $ df = 5 $, o valor crítico é aproximadamente $ \pm 2,571 $.
Passo 6
Comparamos o valor calculado de t com os valores críticos:
Como o valor de t calculado está além do valor crítico negativo, estamos na região de rejeição.
Resposta
Rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências suficientes para concluir que a média da tensão de ruptura dos cabos não é 8000 kgf com um nível de significância de 5%.