Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 0,75 Horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 0,5 Horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã. Responda ( 3, 0 pontos):
b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas?;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um sistema de fila com dois servidores. As chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial com média de 0,75 horas, e os tempos de serviço também são exponenciais, com média de 0,5 horas. Agora, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã, e queremos descobrir a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas, sabendo que ninguém chegou antes das 09:30. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos de chegada Poisson e a propriedade “sem memória” da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as taxas de chegada e de serviço. A média de tempo entre chegadas é de 0,75 horas, então a taxa de chegada, denotada por λ (lambda), é o inverso disso:
lambda = 10,75 = 43 por hora
Isso significa que, em média, chega 43 clientes por hora.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com chegadas que seguem uma distribuição exponencial, sabemos que essa distribuição tem a propriedade “sem memória”. Isso quer dizer que, independentemente de quanto tempo já passou sem uma chegada, a probabilidade de uma chegada ocorrer no próximo intervalo de tempo depende apenas desse intervalo, não do tempo que já passou.

Passo 4

A questão nos diz que ninguém chegou antes das 09:30 horas, ou seja, passaram-se 1,5 horas sem chegadas desde as 08:00. Queremos saber a probabilidade de que a próxima chegada ocorra nas próximas 0,5 horas (entre 09:30 e 10:00).
Como a distribuição é sem memória, podemos considerar o tempo a partir das 09:30 como se estivesse começando agora. Então, estamos procurando a probabilidade de que a próxima chegada ocorra dentro de 0,5 horas a partir das 09:30.

Passo 5

A probabilidade de que a próxima chegada ocorra em até t horas é dada pela função de distribuição acumulada da distribuição exponencial:
P(X <= t) = 1 - e^-lambda t
Queremos a probabilidade de que a chegada ocorra dentro de 0,5 horas:
P(X <= 0,5) = 1 - e^-43 times 0,5 = 1 - e^-23

Passo 6

Calculando o valor numérico:
e^-23 approx 0,5134
Então,
P(X <= 0,5) = 1 - 0,5134 = 0,4866

Resposta

A probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas é aproximadamente 48,66%.

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