Suponha que um sistema de fila tenha dois servidores, distribuição exponencial dos tempos entre chegadas (média de 0,75 Horas) e distribuição exponencial dos tempos de serviço (média de 0,5 Horas). Além disso, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã. Responda (
pontos):
b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas?;
b) Suponha que nenhum outro cliente chegou antes das 09:30 horas. Qual a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas?;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui. Temos um sistema de fila com dois servidores. As chegadas dos clientes seguem uma distribuição exponencial com média de 0,75 horas, e os tempos de serviço também são exponenciais, com média de 0,5 horas. Agora, acabou de chegar um cliente às 08 horas da manhã, e queremos descobrir a probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas, sabendo que ninguém chegou antes das 09:30. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre processos de chegada Poisson e a propriedade “sem memória” da distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as taxas de chegada e de serviço. A média de tempo entre chegadas é de 0,75 horas, então a taxa de chegada, denotada por λ (lambda), é o inverso disso:
Isso significa que, em média, chega
clientes por hora.
Passo 3
Agora, como estamos lidando com chegadas que seguem uma distribuição exponencial, sabemos que essa distribuição tem a propriedade “sem memória”. Isso quer dizer que, independentemente de quanto tempo já passou sem uma chegada, a probabilidade de uma chegada ocorrer no próximo intervalo de tempo depende apenas desse intervalo, não do tempo que já passou.
Passo 4
A questão nos diz que ninguém chegou antes das 09:30 horas, ou seja, passaram-se 1,5 horas sem chegadas desde as 08:00. Queremos saber a probabilidade de que a próxima chegada ocorra nas próximas 0,5 horas (entre 09:30 e 10:00).
Como a distribuição é sem memória, podemos considerar o tempo a partir das 09:30 como se estivesse começando agora. Então, estamos procurando a probabilidade de que a próxima chegada ocorra dentro de 0,5 horas a partir das 09:30.
Passo 5
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra em até t horas é dada pela função de distribuição acumulada da distribuição exponencial:
Queremos a probabilidade de que a chegada ocorra dentro de 0,5 horas:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Então,
Resposta
A probabilidade de que a próxima chegada ocorra entre 09:30 e 10:00 horas é aproximadamente 48,66%.