Suponha que X seja uma variável aleatória com densidade:
f(x)= k(1-|x|), & para -1 <= x <= 1 0, & caso contrário á
a) Determine o valor de k .
b) Determine P(12<X<23).
c) Determine P(12<X<23 rvert, X>0).
d) Determine a função de distribuição acumulada de X. Resp.: a) 1; b) 5 / 72; c) 5 / 36;
d) F(X)= 0, & se x<-1 x+x^2 / 2+1 / 2, & se -1 <= x<0 x-x^2 / 2+1 / 2, & se 0 <= x<1 1, & se x >= 1

Passo 1

O enunciado diz que
e pede:
  • (a) normalização,
  • (b) ,
    - (d) função de distribuição acumulada .
    Vamos usar integração de densidade, simetria, definição de probabilidade condicional e definição de CDF.

Passo 2

Para achar k, impomos
integral-1^1k,(1-|x|),dx=1
Como a função é simétrica,
integral-1^1(1-|x|),dx =2integral0^1(1-x),dx =2l[x-tfracx^22r]0^1 =2l(1-tfrac12r)=1
Logo kcdot1=1 e k=1.

Passo 3

Calculamos
Pl(tfrac12<X<tfrac23r) =integral1/2^2/3(1-x),dx =l[x-tfracx^22r]1/2^2/3 =tfrac49-tfrac38 =tfrac572

Passo 4

Para a probabilidade condicional
Pl(tfrac12<X<tfrac23m|X>0r) =P(1/2<X<2/3)P(X>0) =5/72integral0^1(1-x),dx =5/721/2 =536

Passo 5

A CDF é F(x)=integral-infty^xf(t),dt, então
para x<-1:
F(x)=0
para -1<= x<0: note que |t|=-t,
F(x) =integral-1^x(1+ t),dt =l[t+tfract^22r]-1^x =x+tfracx^22+tfrac12
para 0<= x<1:
F(x) =F(0)+integral0^x(1-t),dt =tfrac12+l[x-tfracx^22r] =x-tfracx^22+tfrac12
para x>=1:
F(x)=1

Resposta

a) k=1 \n
b) 572 \n
c) 536 \n
d)
F(x)= 0, & x<-1, x + tfracx^22 + tfrac12, & -1<= x<0, x - tfracx^22 + tfrac12, & 0<= x<1, 1, & x>=1

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