Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies
O paraboloide z=4 \pi^{2}+y^{2} e o cilindro parabólico y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies dadas. As informações fornecidas são:
z = 4\pi^{2} + y^{2}
e
y = x^{2}.
Ou seja, a curva de interesse é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas duas equações. O objetivo é escrever uma função vetorial \mathbf{r}(t) que percorra exatamente essa curva quando t varia.

Passo 2

Ideia para parametrizar (explicação didática): quando temos uma curva dada por relações entre x,y,z, uma forma natural de parametrizar é escolher uma das variáveis como parâmetro livre e expressar as outras em função dele. Aqui a segunda equação já dá y em função de x: y=x^{2}. Isso sugere tomar o próprio x como parâmetro. Vou chamar o parâmetro de t e definir
x(t)=t.
Uma vez escolhido x(t), obtenho y(t) pela equação do cilindro parabólico e z(t) pela equação do paraboloide.

Passo 3

Determinar as componentes da parametrização (passo a passo das contas):
  • Usando x(t)=t, pela equação y=x^{2} vem
y(t)=t^{2}.
  • Substituindo y(t) na equação z=4\pi^{2}+y^{2} obtemos
z(t)=4\pi^{2} + \bigl(y(t)\bigr)^{2} = 4\pi^{2} + (t^{2})^{2} = 4\pi^{2} + t^{4}.
Agora juntamos as três componentes para formar a função vetorial.

Passo 4

Escrever a função vetorial final e explicar a notação: a função vetorial que representa a curva é
\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t),\,z(t)\rangle=\langle t,\,t^{2},\,4\pi^{2}+t^{4}\rangle.
Aqui \mathbf{r}(t) dá um ponto (x,y,z) da curva para cada valor de t. Cada componente é uma função real de t: x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=4\pi^{2}+t^{4}.

Passo 5

Verificação de que a parametrização realmente satisfaz as duas superfícies (mostra para a prova): a parametrização satisfaz y=x^{2} porque
y(t)=t^{2}=(x(t))^{2}.
E satisfaz z=4\pi^{2}+y^{2} porque
z(t)=4\pi^{2}+t^{4}=4\pi^{2}+\bigl(t^{2}\bigr)^{2}=4\pi^{2}+\bigl(y(t)\bigr)^{2}.
Portanto \mathbf{r}(t) está sempre na interseção das duas superfícies.

Passo 6

Domínio e observações finais rápidas (dicas para a prova): as componentes são polinômios, portanto a parametrização funciona para todo t\in\mathbb{R}. Se quiser outra parametrização, poderia escolher por exemplo y como parâmetro (com cuidado com sinal na inversa), mas escolher x=t é simples e direto — bom para prova porque evita complicação desnecessária. Exemplos numéricos rápidos: \mathbf{r}(0)=(0,0,4\pi^{2}) e \mathbf{r}(1)=(1,1,4\pi^{2}+1), só para você visualizar pontos da curva.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle t,\,t^{2},\,4\pi^{2}+t^{4}\rangle,\quad t\in\mathbb{R}

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