Determine a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies
O paraboloide
e o cilindro parabólico
.
O paraboloide
Passo 1
O enunciado pede: determinar a função vetorial que representa a curva obtida pela interseção das duas superfícies dadas. As informações fornecidas são:
e
Ou seja, a curva de interesse é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente essas duas equações. O objetivo é escrever uma função vetorial
que percorra exatamente essa curva quando
varia.
Passo 2
Ideia para parametrizar (explicação didática): quando temos uma curva dada por relações entre
, uma forma natural de parametrizar é escolher uma das variáveis como parâmetro livre e expressar as outras em função dele. Aqui a segunda equação já dá
em função de
:
. Isso sugere tomar o próprio
como parâmetro. Vou chamar o parâmetro de
e definir
Uma vez escolhido
, obtenho
pela equação do cilindro parabólico e
pela equação do paraboloide.
Passo 3
Determinar as componentes da parametrização (passo a passo das contas):
- Usando
, pela equação vem
- Substituindo
na equação obtemos
Agora juntamos as três componentes para formar a função vetorial.
Passo 4
Escrever a função vetorial final e explicar a notação: a função vetorial que representa a curva é
Aqui
dá um ponto
da curva para cada valor de
. Cada componente é uma função real de
:
,
,
.
Passo 5
Verificação de que a parametrização realmente satisfaz as duas superfícies (mostra para a prova): a parametrização satisfaz
porque
E satisfaz
porque
Portanto
está sempre na interseção das duas superfícies.
Passo 6
Domínio e observações finais rápidas (dicas para a prova): as componentes são polinômios, portanto a parametrização funciona para todo
. Se quiser outra parametrização, poderia escolher por exemplo
como parâmetro (com cuidado com sinal na inversa), mas escolher
é simples e direto — bom para prova porque evita complicação desnecessária. Exemplos numéricos rápidos:
e
, só para você visualizar pontos da curva.