Em uma determinada Região do espaço, o potencial elétrico é dado por
. Encontre as expressões para as componentes
e z do campo elétrico nessa região. Qual é a magnitude do campo no P , cujas coordenadas são
?
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico na região
e pede duas coisas:
- as expressões das componentes
e do campo elétrico nessa região; - a magnitude do campo elétrico no ponto
de coordenadas .
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de
e as coordenadas do ponto
. Nada mais foi pedido.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o campo elétrico
é relacionado ao potencial
por derivadas parciais. A relação é
onde
(lê-se "gradiente de
") é o vetor das derivadas parciais de
:
O que é derivada parcial? É a taxa de variação de
em relação a uma variável (por exemplo
) mantendo as outras variáveis fixas. Para funções polinomiais a derivada parcial é feita termo a termo, tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
termo a termo.
Termos de
:
-
: ao derivar em relação a , usamos a regra da potência: . Logo . Ao derivar esse termo em relação a ou obtemos 0 porque não dependem de nem de . -
: ao derivar em relação a , é tratado como constante, então . Ao derivar em relação a , é constante e usamos , então . Em relação a esse termo dá 0. -
: ao derivar em relação a isso é 0 (não depende de ). Em relação a , é constante, então . Em relação a , é constante e , então .
Somando as contribuições termo a termo:
Passo 4
Aplicar
trocando o sinal das derivadas parciais encontradas. Assim as componentes do campo elétrico são:
Aqui você já tem as expressões gerais para qualquer ponto
.
Passo 5
Agora avaliar as componentes no ponto
. Substituímos
,
,
.
Calcular
:
Calcular
:
Note que
, então
Calcular
:
Note que
, então
Portanto o campo no ponto
é o vetor
(em unidades de
).
Passo 6
Calcular a magnitude do campo no ponto
. A magnitude de um vetor
é a norma euclidiana:
No nosso caso:
Calcular os quadrados:
Somando:
Logo
Passo 7
Dica rápida para a prova: ao ver
polinomial, calcule as parciais termo a termo (tratando as outras variáveis como constantes), troque o sinal para obter
, e avalie no ponto pedido. Respire fundo — está feito! Força aí, você já consegue aplicar esse procedimento rápido na prova.