Em uma determinada Região do espaço, o potencial elétrico é dado por V=5 x^{2}- 3 x y^{2}+2 y z^{3}. Encontre as expressões para as componentes \mathrm{x}, \mathrm{y} e z do campo elétrico nessa região. Qual é a magnitude do campo no P , cujas coordenadas são (1,1,-3) \mathrm{m} ?

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico na região
V = 5x^{2} - 3x y^{2} + 2y z^{3},
e pede duas coisas:
  1. as expressões das componentes \mathrm{x}, \mathrm{y} e \mathrm{z} do campo elétrico nessa região;
  2. a magnitude do campo elétrico no ponto P de coordenadas (1,1,-3)\,\mathrm{m}.
Informações relevantes dadas: a fórmula explícita de V(x,y,z) e as coordenadas do ponto P=(1,1,-3). Nada mais foi pedido.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): o campo elétrico \mathbf{E} é relacionado ao potencial V por derivadas parciais. A relação é
\mathbf{E} = -\nabla V,
onde \nabla V (lê-se "gradiente de V") é o vetor das derivadas parciais de V:
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\; \frac{\partial V}{\partial y},\; \frac{\partial V}{\partial z}\right).
O que é derivada parcial? É a taxa de variação de V em relação a uma variável (por exemplo x) mantendo as outras variáveis fixas. Para funções polinomiais a derivada parcial é feita termo a termo, tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V termo a termo.
Termos de V:
  • 5x^{2}: ao derivar em relação a x, usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x. Logo \dfrac{\partial}{\partial x}(5x^{2}) = 5\cdot 2x = 10x. Ao derivar esse termo em relação a y ou z obtemos 0 porque não dependem de y nem de z.
  • -3x y^{2}: ao derivar em relação a x, y^{2} é tratado como constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-3x y^{2}) = -3 y^{2}. Ao derivar em relação a y, x é constante e usamos \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y, então \dfrac{\partial}{\partial y}(-3x y^{2}) = -3x\cdot 2y = -6xy. Em relação a z esse termo dá 0.
  • 2y z^{3}: ao derivar em relação a x isso é 0 (não depende de x). Em relação a y, z^{3} é constante, então \dfrac{\partial}{\partial y}(2y z^{3}) = 2 z^{3}. Em relação a z, y é constante e \dfrac{d}{dz}(z^{3})=3 z^{2}, então \dfrac{\partial}{\partial z}(2y z^{3}) = 2y\cdot 3 z^{2} = 6 y z^{2}.
Somando as contribuições termo a termo:
\frac{\partial V}{\partial x} = 10x - 3 y^{2},
\frac{\partial V}{\partial y} = -6 x y + 2 z^{3},
\frac{\partial V}{\partial z} = 6 y z^{2}.

Passo 4

Aplicar \mathbf{E} = -\nabla V trocando o sinal das derivadas parciais encontradas. Assim as componentes do campo elétrico são:
E_{x} = -\left(10x - 3 y^{2}\right) = -10x + 3 y^{2},
E_{y} = -\left(-6 x y + 2 z^{3}\right) = 6 x y - 2 z^{3},
E_{z} = -\left(6 y z^{2}\right) = -6 y z^{2}.
Aqui você já tem as expressões gerais para qualquer ponto (x,y,z).

Passo 5

Agora avaliar as componentes no ponto P=(1,1,-3). Substituímos x=1, y=1, z=-3.
Calcular E_{x}:
E_{x}(1,1,-3) = -10\cdot 1 + 3\cdot 1^{2} = -10 + 3 = -7.
Calcular E_{y}:
E_{y}(1,1,-3) = 6\cdot 1\cdot 1 - 2\cdot (-3)^{3}.
Note que (-3)^{3} = -27, então
E_{y}(1,1,-3) = 6 - 2\cdot (-27) = 6 + 54 = 60.
Calcular E_{z}:
E_{z}(1,1,-3) = -6\cdot 1\cdot (-3)^{2}.
Note que (-3)^{2}=9, então
E_{z}(1,1,-3) = -6\cdot 9 = -54.
Portanto o campo no ponto P é o vetor \mathbf{E}(1,1,-3)=(-7,\,60,\, -54) (em unidades de \mathrm{V/m}).

Passo 6

Calcular a magnitude do campo no ponto P. A magnitude de um vetor \mathbf{E}=(E_{x},E_{y},E_{z}) é a norma euclidiana:
|\mathbf{E}| = \sqrt{E_{x}^{2} + E_{y}^{2} + E_{z}^{2}}.
No nosso caso:
|\mathbf{E}(1,1,-3)| = \sqrt{(-7)^{2} + 60^{2} + (-54)^{2}}.
Calcular os quadrados:
(-7)^{2} = 49,\quad 60^{2}=3600,\quad (-54)^{2}=2916.
Somando:
49 + 3600 + 2916 = 6565.
Logo
|\mathbf{E}(1,1,-3)| = \sqrt{6565} \approx 81,025\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Dica rápida para a prova: ao ver V(x,y,z) polinomial, calcule as parciais termo a termo (tratando as outras variáveis como constantes), troque o sinal para obter \mathbf{E}, e avalie no ponto pedido. Respire fundo — está feito! Força aí, você já consegue aplicar esse procedimento rápido na prova.

Resposta

E_{x} = -10x + 3 y^{2}
E_{y} = 6 x y - 2 z^{3}
E_{z} = -6 y z^{2}
|\mathbf{E}(1,1,-3)| = \sqrt{6565} \approx 81,025\\ \mathrm{V/m}

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