Numa determinada substância radioativa a velocidade de desintegração é proporcional à sua massa no instante considerado. Sabendo que 12 kg dela se reduz a 9 kg em 15 dias e que a solução geral da equação diferencial correspondente é m(t)=c e^{-k t}, determine a meia vida desta substância radioativa.

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo, cuja velocidade de desintegração satisfaz a equação diferencial
\frac{dm}{dt} = -k\,m(t)
e cuja solução geral é
m(t) = c\,e^{-k t}.
Aqui queremos achar a meia-vida T_{1/2}, sabendo que m(0) = 12,kg e m(15) = 9,kg.

Passo 2

Da condição inicial m(0)=c=12. Em t=15 dias temos
m(15)=12\,e^{-15k}=9
Logo
e^{-15k}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad -15k=\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad k=-\frac{1}{15}\ln\!\Bigl(\tfrac{3}{4}\Bigr) =\frac{1}{15}\ln\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr).

Passo 3

A meia-vida T_{1/2} é o tempo em que m(T_{1/2}) = \tfrac{c}{2}. Logo
c\,e^{-kT_{1/2}} = \frac{c}{2} \quad\Longrightarrow\quad e^{-kT_{1/2}} = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad -k\,T_{1/2} = \ln\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln2}{k}.

Passo 4

Substituindo k=\tfrac{1}{15}\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr) obtemos
T_{1/2} =\frac{\ln2}{\tfrac{1}{15}\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)} =15\;\frac{\ln2}{\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)} \approx36{,}2\text{ dias}.

Resposta

A meia-vida é
T_{1/2} = 15\,\frac{\ln2}{\ln\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)} \approx 36{,}2\text{ dias}.

Exercícios relacionados