Sabendo que a equação é exata, determine sua solução geral: (2 x+3 y)+\left(3 x+3 y^{2}\right) \cdot y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial exata
(2x+3y) + (3x + 3y^2)\,y' = 0.
Definimos
M(x,y) = 2x + 3y, \quad N(x,y) = 3x + 3y^2,
de modo que a forma M + N\,y' = 0 seja exata. Vamos buscar uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M \quad\text{e}\quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N.

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão comparando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2x+3y) = 3,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x+3y^2) = 3.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Integramos M(x,y) em relação a x para obter a forma inicial de \psi:
\psi(x,y) = \int (2x+3y)\,dx = x^2 + 3xy + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Usamos a condição \partial\psi/\partial y = N para encontrar h(y):
\frac{\partial\psi}{\partial y} = 3x + h'(y) \stackrel!= 3x + 3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 3y^2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^3.

Passo 5

Substituindo h(y)=y^3 em \psi, obtemos a função potencial completa:
\psi(x,y) = x^2 + 3xy + y^3.
Assim, a solução geral da equação diferencial exata é
\psi(x,y) = C,
ou seja,

Resposta

x^2 + 3xy + y^3 = C.

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