Resolva a equação separando suas variáveis: \frac{d y}{d x}=y(2 x+1) (isole a variável y na sua solução geral).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x} = y\,(2x+1)
Isso é uma equação de variáveis separáveis: podemos “levar” todos os y de um lado e todos os x de outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis dividindo ambos os lados por y e multiplicando por dx:
\frac{1}{y}\,dy = (2x+1)\,dx
Agora integramos cada membro:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int (2x+1)\,dx

Passo 3

Calculamos as integrais. No lado esquerdo vem \ln|y|. No direito,
\int (2x+1)\,dx = x^2 + x + C,
onde C é constante de integração. Logo
\ln|y| = x^2 + x + C.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos exponencial em ambos os lados:
|y| = e^{\,x^2 + x + C} = e^C \,e^{\,x^2+x}.
Chamando C_1 = \pm e^C, obtemos a solução geral.

Resposta

y = C_1\,e^{\,x^2 + x},
com C_1 constante arbitrária.

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