Resolva a equação pelo método da tentativa criteriosa: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=3 x+4.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' - 3y = 3x + 4
O conteúdo é solução geral dessa EDO via método da tentativa criteriosa (também chamado de coeficientes a determinar). Vamos decompor a solução em parte homogênea y_h (resolvendo a equação homogênea associada) e parte particular y_p (tentativa para o termo não homogêneo).

Passo 2

Para achar y_h, consideramos a equação homogênea
y'' + 2y' - 3y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 + 2r -3 = 0
e resolvemos
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot(-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2},
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r_1 = 1,\quad r_2 = -3.
Portanto
y_h = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Para a parte particular y_p, o termo não homogêneo é 3x + 4, um polinômio de grau 1. Como 0 (raiz associada a termos constantes ou lineares) não é raiz da característica, tentamos
y_p = A x + B,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A, \quad y_p'' = 0.
Substituindo em y'' + 2y' - 3y = 3x + 4, obtemos
0 + 2A - 3(Ax + B) = 3x + 4.
Isto é
-3A\,x + (2A - 3B) = 3x + 4.

Passo 5

Igualamos coeficientes de potências de x:
- Coeficiente de x: -3A = 3 implica A = -1.
- Termo constante: 2A - 3B = 4 implica 2(-1) - 3B = 4, logo -2 - 3B = 4, então -3B = 6 e B = -2.

Passo 6

Assim a parte particular é
y_p = -1\cdot x + (-2) = -x - 2.
Portanto a solução geral da EDO é
y = y_h + y_p = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \;-\; x \;-\; 2.

Resposta

y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} - x - 2.

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