Determine a solução geral da equação homogênea a seguir: y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+10 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação homogênea
y'' + 6y' + 10y = 0.
Isso faz parte de EDOs lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{r x}. Calculando as derivadas temos
y' = r e^{r x}, \qquad y'' = r^2 e^{r x}.
Substituindo em \;y'' + 6y' + 10y = 0\; resulta na equação característica em r:
r^2 + 6r + 10 = 0.

Passo 3

Para resolver
r^2 + 6r + 10 = 0
calculamos o discriminante:
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot10 = 36 - 40 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-6 \pm \sqrt{-4}}{2} = -3 \pm i.

Passo 4

Quando as raízes da característica são r = \alpha \pm i\beta, a solução geral real é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha = -3 e \beta = 1, logo

Resposta

\boxed{y(x) = e^{-3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr),}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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