Em um determinado circuito elétrico a corrente pode ser calculada pela seguinte expressão: I=5 cdot e^-5 t cdot sin (pi4)+5 cdot sin (5 t-pi4), onde t é tempo em segundos. Determine um valor de t para qual o valor da intensidade da corrente é nula. Usar t0=1 s e 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede um tempo t tal que a corrente
I(t)=5,e^-5t,sin!l(tfracpi4r)+5,sin!l(5t-tfracpi4r)
se anule. O conteúdo aqui é método numérico para raiz de função, mais especificamente o método de Newton–Raphson.

Passo 2

Definimos
f(t)=5,e^-5t,sin!l(tfracpi4r)+5,sin!l(5t-tfracpi4r),
então queremos f(t)=0. Calculamos a derivada
f'(t)=-25,e^-5t,sin!l(tfracpi4r)+25,cos!l(5t-tfracpi4r)

Passo 3

O método de Newton usa a iteração
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)
Tomamos o chute inicial t0 = 1,0~s (fornecido) e iteramos até que a diferença lvert tn+1 - tn rvert fique abaixo de 5 times 10^-5, garantindo 4 casas decimais estáveis.

Passo 4

Aplicando a fórmula, obtemos em cada iteração aproximadamente:
t1&approx0,6386, t2&approx0,8196, t3&approx0,7878, t4&approx0,7929, t5&approx0,7881, t6&approx0,7889, t7&approx0,7883, t8&approx0,7888, t9&approx0,7882
Observe que a partir de t7 o valor oscila entre 0,7882 e 0,7889, já com precisão de 4 casas decimais.

Passo 5

Como após algumas iterações a diferença lvert tn+1-tnrvert<5times10^-5, adotamos a raiz
tapprox0,7882 s

Resposta

tapprox0,7882 s

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