A distribuição de temperatura ( ^circ C) em cada ponto x(m) de um pedaço de arame está dada por: T(x)=-8,12 x^3+41,88 x^2-71,99 x+40,23. Determine:
Em qual ponto a temperatura é de 20^circ C.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de temperatura em função de x
T(x) = -8,12,x^3 + 41,88,x^2 - 71,99,x + 40,23
e pede o(s) ponto(s) onde T(x)=20 ^circC. O conteúdo aplicado aqui é resolução de equações polinomiais de grau 3, usando método numérico de aproximação (bissecção ou interpolação linear) para encontrar a raiz real.

Passo 2

Igualamos T(x) a 20 e trazemos tudo para um lado, obtendo um polinômio igual a zero:
-8,12,x^3 + 41,88,x^2 - 71,99,x + 40,23 ;-;20 ;=;0
ou seja
-8,12,x^3 + 41,88,x^2 - 71,99,x + 20,23 ;=;0

Passo 3

Para facilitar a análise de sinais, multiplico por -1, definindo
g(x) = 8,12,x^3 - 41,88,x^2 + 71,99,x - 20,23,
e procuro g(x)=0. Note que g(0)=-20,23<0 e g(1)=8,12-41,88+71,99-20,23=18>0, logo existe uma raiz em (0,1). Não há raízes negativas (nenhuma mudança de sinal em g(-x)) e, ao verificar g(2)>0 e g(3)>0, concluímos que há exatamente uma raiz real.

Passo 4

Aplicando bissecção ou interpolação linear entre x=0,3 e x=0,4:
  • g(0,3)approx-2,18
  • g(0,4)approx 2,38
    Refinando no intervalo [0,34,,0,35] e repetindo o procedimento, encontramos
x approx 0,346

Resposta

A temperatura vale 20^circC em
x approx 0,346 m

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