Dada a função f(x)=ln (x)-tan (x), determine uma raiz positiva desta função com erro menor que 0,0001. (Usar seis casas decimais).

Passo 1

O enunciado pede determinar uma raiz positiva de
f(x)=ln(x)-tan(x)
com erro menor que 0,0001, exibindo o resultado com seis casas decimais. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz num intervalo e o Método da Bissecção para aproximá-la com precisão controlada.

Passo 2

Primeiro, vejamos onde f(x) muda de sinal, levando em conta que tan(x) tem assíntotos em x=tfracpi2,tfrac3pi2,dots.
  • Em (0,tfracpi2) temos ln(x)to-infty em xto0^+ e tan(x)to+infty em xto(tfracpi2)^-, logo f(x)<0.
  • Em (tfracpi2,pi] obtemos tan(x)<0 e ln(x)>0, logo f(x)>0.
    Portanto não há raiz até x=pi. Agora, em x=piapprox3,141593 temos
f(pi)=ln(pi)-tan(pi)=ln(pi)approx1,144729>0,
e em x=4,5
f(4,5)=ln(4,5)-tan(4,5)approx1,504077-4,6001approx-3,096<0
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe então pelo menos uma raiz em
[a,b]=[4,0;4,5]

Passo 3

Aplicamos o Método da Bissecção em [a,b]=[4,0;4,5]. A cada iteração calculamos
m=a+b2
e avaliamos f(m). Se f(a)cdot f(m)<0, definimos b m; caso contrário, a m.
O erro após n iterações satisfaz
|xn-alpha|<=b-a2^n
Queremos tfracb-a2^n<0,0001, isto é tfrac0,52^n<10^-4. Em prática, basta iterar até que o comprimento do intervalo seja menor que 0,0002.

Passo 4

Nas primeiras iterações obtemos:
  • iteração 1: a1=4,0, b1=4,5, m1=4,25, f(m1)approx-0,5431 Rightarrow novo intervalo [4,0;4,25];
  • iteração 2: a2=4,0, b2=4,25, m2=4,125, f(m2)approx-0,0829 Rightarrow [4,0;4,125];
  • iteração 3: a3=4,0, b3=4,125, m3=4,0625, f(m3)approx0,1013 Rightarrow [4,0625;4,125];
    e assim sucessivamente. Para poupar espaço, após 12 iterações temos
a12=4,0953369140625, b12=4,095458984375,
com
b12-a12approx0,00012207<0,0002
O ponto médio é
m12=a12+b122=4,09539794921875,
que satisfaz |m12-alpha|<0,0001. Arredondando para seis casas decimais, a raiz aproximada é
xapprox4,095398

Resposta

A raiz positiva de f(x)=ln(x)-tan(x) com erro menor que 0,0001 é aproximadamente
boxedx=4,095398

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