Dada a função
, determine uma raiz positiva desta função com erro menor que 0,0001. (Usar seis casas decimais).
Passo 1
O enunciado pede determinar uma raiz positiva de
com erro menor que
, exibindo o resultado com seis casas decimais. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz num intervalo e o Método da Bissecção para aproximá-la com precisão controlada.
Passo 2
Primeiro, vejamos onde
muda de sinal, levando em conta que
tem assíntotos em
.
- Em
temos em e em , logo . - Em
obtemos e , logo .
Portanto não há raiz até. Agora, em temos
e em
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe então pelo menos uma raiz em
Passo 3
Aplicamos o Método da Bissecção em
. A cada iteração calculamos
e avaliamos
. Se
, definimos
; caso contrário,
.
O erro após iterações satisfaz
O erro após
Queremos
, isto é
. Em prática, basta iterar até que o comprimento do intervalo seja menor que
.
Passo 4
Nas primeiras iterações obtemos:
- iteração
: , , , novo intervalo ; - iteração
: , , , ; - iteração
: , , , ;
e assim sucessivamente. Para poupar espaço, apósiterações temos
com
O ponto médio é
que satisfaz
. Arredondando para seis casas decimais, a raiz aproximada é
Resposta
A raiz positiva de
com erro menor que
é aproximadamente