1. Para um determinado circuito LC a energia total se converte de energia elétrica no capacitor para energia magnética no indutor em 1,52 \mu \mathrm{~s}. (a) Qual o período de oscilação ? (b) Qual a frequência de oscilação ? (c) Quanto tempo após a energia atingir o seu máximo atingirá um máximo novamente ?
  2. Enquanto um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 20 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e tem um módulo de 20 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}. (a) Calcule o módulo B do campo magnético a uma distância r=50 mm do eixo de simetria dessa região. (b) Calcule \mathrm{dE} / \mathrm{dt} nessa região.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do problema 5 (peguei estes valores do enunciado):
  • O tempo necessário para a energia se converter de energia elétrica no capacitor para energia magnética no indutor é \,1{,}52\\ \mu\mathrm{s}.
    O enunciado pede:
    (a) o período de oscilação;
    (b) a frequência de oscilação;
    (c) quanto tempo, após a energia atingir seu máximo, ela atingirá um máximo novamente.
Dados do problema 6 (peguei estes valores do enunciado):
  • Placas circulares de diâmetro 20\\ \mathrm{cm} (logo raio a=0{,}10\\ \mathrm{m}).
  • Densidade de corrente de deslocamento uniforme na região entre as placas: \,J_{\mathrm{d}}=20\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}.
  • Queremos o campo magnético no interior da região a uma distância r=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m} do eixo.
    O enunciado pede:
    (a) o módulo de B nessa distância r;
    (b) o valor de \mathrm{d}E/\mathrm{d}t nessa região.

Passo 2

Conceitos essenciais para o problema 5 (explicação didática).
  • Um circuito LC ideal sem perda tem energia total constante que oscila entre o capacitor (energia elétrica) e o indutor (energia magnética).
  • A carga no capacitor costuma variar com o tempo como \,Q(t)=Q_{\max}\cos(\omega t), onde \omega é a frequência angular.
  • A energia elétrica no capacitor é proporcional a Q^2, portanto varia como \cos^2(\omega t). A função \cos^2(\omega t) tem período temporal \pi/\omega, que é metade do período da oscilação da carga.
  • O tempo para a energia estar totalmente convertida do capacitor para o indutor (isto é, do máximo elétrico ao máximo magnético) corresponde a um quarto de período do movimento harmônico, porque: carga máxima (energia elétrica máxima) em t=0, depois em t=T/4 a carga passa por zero e a corrente é máxima, então a energia está toda no indutor. Portanto:
\text{o tempo de conversão} = \frac{T}{4}.ã

Passo 3

Aplicando ao dado numérico do problema 5.
  • O enunciado diz que \dfrac{T}{4}=1{,}52\\ \mu\mathrm{s}.
    Logo o período é
T = 4\cdot 1{,}52\\ \mu\mathrm{s}=6{,}08\\ \mu\mathrm{s}.
Expliquei a conversão: multiplicou-se por 4 porque um quarto do período é o tempo dado.

Passo 4

Calcular a frequência de oscilação para o problema 5.
  • Frequência linear f é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}.
Substituindo T=6{,}08\\ \mu\mathrm{s}=6{,}08\times10^{-6}\\ \mathrm{s},
f=\frac{1}{6{,}08\times10^{-6}\\ \mathrm{s}}\approx1{,}64\times10^{5}\\ \mathrm{Hz}.
Observação prática: em notação mais comum, f\approx1{,}64\times10^{5}\\ \mathrm{Hz}=164{,}0\\ \mathrm{kHz}.

Passo 5

Responder à parte (c) do problema 5 com explicação.
  • Pergunta: “Quanto tempo após a energia atingir o seu máximo atingirá um máximo novamente?”
  • Interpretação didática: normalmente o enunciado refere-se à energia elétrica no capacitor (energia que atinge máximo quando a carga atinge magnitude máxima). Como a energia elétrica varia como \cos^2(\omega t), o período dessa função é \pi/\omega, que corresponde a metade do período da oscilação da carga. Assim, a energia elétrica atinge máximos a cada intervalo de tempo igual a T/2.
    Portanto o próximo máximo de energia elétrica ocorre após
\frac{T}{2}= \frac{6{,}08\\ \mu\mathrm{s}}{2}=3{,}04\\ \mu\mathrm{s}.

Passo 6

Conceitos essenciais para o problema 6 (explicação didática).
  • A Lei de Ampère-Maxwell (forma integral) diz que, para uma curva fechada \mathcal{C} que delimita uma superfície S,
\oint_{\mathcal{C}}\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=\mu_{0}\left(I_{\mathrm{cond,enc}}+\varepsilon_{0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{E}\right),
onde \Phi_{E} é o fluxo elétrico através de S. A parcela \varepsilon_{0}\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{E} é matematicamente equivalente a um “corrente de deslocamento” total I_{\mathrm{d}}.
  • Densidade de corrente de deslocamento \,J_{\mathrm{d}} está relacionada com a variação temporal do campo elétrico por
J_{\mathrm{d}}=\varepsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}\approx8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}\,\mathrm{m}^{-1}).
  • No caso de simetria cilíndrica (placas circulares e caminho circular concêntrico de raio r), o campo magnético \mathbf{B} será tangencial e tem módulo constante ao longo do caminho circular. Então a integral de linha se reduz a B(2\pi r).
  • Entre as placas não há corrente de condução através do vácuo/dielétrico, então I_{\mathrm{cond,enc}}=0 e o termo que gera B é o deslocamento. Se a densidade J_{\mathrm{d}} for uniforme, a corrente de deslocamento total atravessando uma superfície circular de raio r é I_{\mathrm{d}}=J_{\mathrm{d}}\cdot \text{(área)} = J_{\mathrm{d}}\pi r^{2}á, desde que r esteja dentro do raio da placa.

Passo 7

Aplicando a Ampère-Maxwell para achar B(r) (resolvendo a parte (a) do problema 6).
  • Usando simetria e que I_{\mathrm{cond,enc}}=0, a lei reduz-se a
B(2\pi r)=\mu_{0} I_{\mathrm{d}}.
  • Como a densidade de corrente de deslocamento é uniforme, para um caminho circular de raio r com r\le a (aqui r=0{,}05\\ \mathrm{m} e a=0{,}10\\ \mathrm{m}, então r\le a é verdadeiro), tem-se
I_{\mathrm{d}}=J_{\mathrm{d}}\cdot \pi r^{2}.
  • Substituindo em Ampère-Maxwell:
B(2\pi r)=\mu_{0} J_{\mathrm{d}}\pi r^{2}.
Isolando B:
B=\frac{\mu_{0} J_{\mathrm{d}}\pi r^{2}}{2\pi r}=\frac{\mu_{0} J_{\mathrm{d}} r}{2}.
Portanto a forma prática e simples (válida para r\le a) é
B(r)=\frac{\mu_{0}}{2}\,J_{\mathrm{d}}\,r.
Aqui \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H}\,\mathrm{m}^{-1}.

Passo 8

Cálculo numérico de B para r=0{,}05\\ \mathrm{m} usando J_{\mathrm{d}}=20\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}.
  • Substituindo valores:
B=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2}\cdot 20\cdot 0{,}05\\ \mathrm{T}.
Simplificando passo a passo:
\frac{4\pi\times10^{-7}}{2}=2\pi\times10^{-7},
2\pi\times10^{-7}\cdot20\cdot0{,}05=2\pi\times10^{-7}\cdot(20\cdot0{,}05).
Como 20\cdot0{,}05=1,
B=2\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.
Valor numérico aproximado:
B\approx 2\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T}\approx 6{,}28\times10^{-7}\\ \mathrm{T}.

Passo 9

Agora a parte (b) do problema 6: calcular \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t} a partir de J_{\mathrm{d}}.
  • Relação fundamental entre densidade de corrente de deslocamento e variação do campo elétrico:
J_{\mathrm{d}}=\varepsilon_{0}\frac{\partial E}{\partial t}.
Isolando \dfrac{\partial E}{\partial t}:
\frac{\partial E}{\partial t}=\frac{J_{\mathrm{d}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Substituindo J_{\mathrm{d}}=20\\ \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2} e \varepsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}\,\mathrm{m}^{-1}:
\frac{\partial E}{\partial t}=\frac{20}{8{,}854\times10^{-12}}\\ \mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
Cálculo numérico:
\frac{\partial E}{\partial t}\approx2{,}26\times10^{12}\\ \mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 10

Verificação rápida de unidades e consistência (didática curta).
  • Para B, as unidades resultaram em tesla ( \mathrm{T}), coerente com Ampère-Maxwell.
  • Para \dfrac{\partial E}{\partial t}, unidades são \mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}, coerente com \varepsilon_{0} em \mathrm{A}\,\mathrm{s}\,\mathrm{V}^{-1}\,\mathrm{m}^{-1} combinando com J_{\mathrm{d}} em \mathrm{A}\,\mathrm{m}^{-2}.

Resposta

(a) T=6{,}08\\ \mu\mathrm{s}
(b) f\approx1{,}64\times10^{5}\\ \mathrm{Hz}
(c) 3{,}04\\ \mu\mathrm{s}
(a) B(r=0{,}05\\ \mathrm{m})\approx6{,}28\times10^{-7}\\ \mathrm{T}
(b) \dfrac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\approx2{,}26\times10^{12}\\ \mathrm{V}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}

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