- Para um determinado circuito LC a energia total se converte de energia elétrica no capacitor para energia magnética no indutor em
. (a) Qual o período de oscilação ? (b) Qual a frequência de oscilação ? (c) Quanto tempo após a energia atingir o seu máximo atingirá um máximo novamente ?
- Enquanto um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 20 cm de diâmetro está sendo carregado, a densidade de corrente da corrente de deslocamento na região entre as placas é uniforme e tem um módulo de
. (a) Calcule o módulo B do campo magnético a uma distância r=50 mm do eixo de simetria dessa região. (b) Calcule
nessa região.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados do problema 5 (peguei estes valores do enunciado):
- O tempo necessário para a energia se converter de energia elétrica no capacitor para energia magnética no indutor é
.
O enunciado pede:
(a) o período de oscilação;
(b) a frequência de oscilação;
(c) quanto tempo, após a energia atingir seu máximo, ela atingirá um máximo novamente.
Dados do problema 6 (peguei estes valores do enunciado):
- Placas circulares de diâmetro
(logo raio ). - Densidade de corrente de deslocamento uniforme na região entre as placas:
. - Queremos o campo magnético no interior da região a uma distância
do eixo.
O enunciado pede:
(a) o módulo denessa distância ;
(b) o valor denessa região.
Passo 2
Conceitos essenciais para o problema 5 (explicação didática).
- Um circuito LC ideal sem perda tem energia total constante que oscila entre o capacitor (energia elétrica) e o indutor (energia magnética).
- A carga no capacitor costuma variar com o tempo como
, onde é a frequência angular. - A energia elétrica no capacitor é proporcional a
, portanto varia como . A função tem período temporal , que é metade do período da oscilação da carga. - O tempo para a energia estar totalmente convertida do capacitor para o indutor (isto é, do máximo elétrico ao máximo magnético) corresponde a um quarto de período do movimento harmônico, porque: carga máxima (energia elétrica máxima) em
, depois em a carga passa por zero e a corrente é máxima, então a energia está toda no indutor. Portanto:
Passo 3
Aplicando ao dado numérico do problema 5.
- O enunciado diz que
.
Logo o período é
Expliquei a conversão: multiplicou-se por
porque um quarto do período é o tempo dado.
Passo 4
Calcular a frequência de oscilação para o problema 5.
- Frequência linear
é o inverso do período:
Substituindo
,
Observação prática: em notação mais comum,
.
Passo 5
Responder à parte (c) do problema 5 com explicação.
- Pergunta: “Quanto tempo após a energia atingir o seu máximo atingirá um máximo novamente?”
- Interpretação didática: normalmente o enunciado refere-se à energia elétrica no capacitor (energia que atinge máximo quando a carga atinge magnitude máxima). Como a energia elétrica varia como
, o período dessa função é , que corresponde a metade do período da oscilação da carga. Assim, a energia elétrica atinge máximos a cada intervalo de tempo igual a .
Portanto o próximo máximo de energia elétrica ocorre após
Passo 6
Conceitos essenciais para o problema 6 (explicação didática).
- A Lei de Ampère-Maxwell (forma integral) diz que, para uma curva fechada
que delimita uma superfície ,
onde
é o fluxo elétrico através de
. A parcela
é matematicamente equivalente a um “corrente de deslocamento” total
.
- Densidade de corrente de deslocamento
está relacionada com a variação temporal do campo elétrico por
onde
é a permissividade do vácuo (
).
- No caso de simetria cilíndrica (placas circulares e caminho circular concêntrico de raio
), o campo magnético será tangencial e tem módulo constante ao longo do caminho circular. Então a integral de linha se reduz a . - Entre as placas não há corrente de condução através do vácuo/dielétrico, então
e o termo que gera é o deslocamento. Se a densidade for uniforme, a corrente de deslocamento total atravessando uma superfície circular de raio é , desde que esteja dentro do raio da placa.
Passo 7
Aplicando a Ampère-Maxwell para achar
(resolvendo a parte (a) do problema 6).
- Usando simetria e que
, a lei reduz-se a
- Como a densidade de corrente de deslocamento é uniforme, para um caminho circular de raio
com (aqui e , então é verdadeiro), tem-se
- Substituindo em Ampère-Maxwell:
Isolando
:
Portanto a forma prática e simples (válida para
) é
Aqui
.
Passo 8
Cálculo numérico de
para
usando
.
- Substituindo valores:
Simplificando passo a passo:
Como
,
Valor numérico aproximado:
Passo 9
Agora a parte (b) do problema 6: calcular
a partir de
.
- Relação fundamental entre densidade de corrente de deslocamento e variação do campo elétrico:
Isolando
:
- Substituindo
e :
Cálculo numérico:
Passo 10
Verificação rápida de unidades e consistência (didática curta).
- Para
, as unidades resultaram em tesla ( ), coerente com Ampère-Maxwell. - Para
, unidades são , coerente com em combinando com em .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)
(a)
(b)
(b)