Simplifique as frações algébricas:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
- Numerador:
. - Denominador:
.
O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma equivalente mais simples (se possível), indicando quaisquer restrições ao valor de.
Passo 2
Vamos recordar um padrão de fatoração muito útil: a diferença de quadrados. A identidade é
onde
e
são quaisquer expressões algébricas. Explicando devagar: ao desenvolver o produto
aplica-se a distributiva duas vezes e obtém-se
ou seja, os termos com
se cancelam. Esse padrão serve para fatorar qualquer expressão da forma
.
Passo 3
No nosso caso reconhecemos que o numerador é uma diferença de quadrados com
e
. Aplicando a identidade:
Passo 4
Substituindo essa fatoração na fração original obtemos
Passo 5
Agora observamos que o fator
aparece no numerador e no denominador. Em álgebra podemos simplificar (cancelar) fatores iguais multiplicativos, mas sempre com cuidado: não se pode cancelar um fator que seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Portanto só podemos cancelar
quando
, isto é, quando
.
Cancelando o fator comum para
temos
Passo 6
Para ganhar confiança, um checape rápido com um número: se
o numerador original vale
e o denominador
, logo a fração original vale
. A expressão simplificada dá
. Coincide, mostrando que a simplificação está correta sempre que
.