Simplifique as frações algébricas:
\frac{\boldsymbol{x}^{2}-\mathbf{9}}{\boldsymbol{x}-\mathbf{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{x^{2}-9}{x-3}.
Informações dadas:
  • Numerador: x^{2}-9.
  • Denominador: x-3.
    O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma equivalente mais simples (se possível), indicando quaisquer restrições ao valor de x.

Passo 2

Vamos recordar um padrão de fatoração muito útil: a diferença de quadrados. A identidade é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões algébricas. Explicando devagar: ao desenvolver o produto (a-b)(a+b) aplica-se a distributiva duas vezes e obtém-se
(a-b)(a+b)=a^{2}+ab-ab-b^{2}=a^{2}-b^{2},
ou seja, os termos com ab se cancelam. Esse padrão serve para fatorar qualquer expressão da forma a^{2}-b^{2}.

Passo 3

No nosso caso reconhecemos que o numerador é uma diferença de quadrados com a=x e b=3. Aplicando a identidade:
x^{2}-9 = x^{2}-3^{2} = (x-3)(x+3).

Passo 4

Substituindo essa fatoração na fração original obtemos
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}.

Passo 5

Agora observamos que o fator (x-3) aparece no numerador e no denominador. Em álgebra podemos simplificar (cancelar) fatores iguais multiplicativos, mas sempre com cuidado: não se pode cancelar um fator que seja zero, porque dividir por zero não é permitido. Portanto só podemos cancelar (x-3) quando (x-3)\neq0, isto é, quando x\neq3.
Cancelando o fator comum para x\neq3 temos
\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\quad\text{para }x\neq3.

Passo 6

Para ganhar confiança, um checape rápido com um número: se x=5 o numerador original vale 5^{2}-9=25-9=16 e o denominador 5-3=2, logo a fração original vale 16/2=8. A expressão simplificada dá x+3=5+3=8. Coincide, mostrando que a simplificação está correta sempre que x\neq3.

Resposta

x+3,\;x\neq3

Exercícios relacionados