Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 20 % dos candidatos do concurso tem conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda fase. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um concurso com duas etapas, e historicamente, 20% dos candidatos passam para a segunda fase. A pergunta é: se a gente escolher 6 candidatos, qual é a probabilidade de pelo menos 4 deles conseguirem passar para a segunda etapa? Vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade binomial”. Essa distribuição é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada candidato pode ou não passar para a segunda fase, com uma probabilidade de sucesso de 20% (ou 0,2).

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (no nosso caso, 6 candidatos),
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (4, 5 ou 6),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,2),
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para exatamente 4 candidatos passarem:
P(X = 4) = C(6, 4) times (0.2)^4 times (0.8)^2
Calculando:
C(6, 4) = 6!4! times (6 - 4)! = 15
Então:
P(X = 4) = 15 times (0.2)^4 times (0.8)^2 approx 15 times 0.0016 times 0.64 approx 0.01536

Passo 5

Agora, a probabilidade para exatamente 5 candidatos passarem:
P(X = 5) = C(6, 5) times (0.2)^5 times (0.8)^1
Calculando:
C(6, 5) = 6!5! times (6 - 5)! = 6
Então:
P(X = 5) = 6 times (0.2)^5 times 0.8 approx 6 times 0.00032 times 0.8 approx 0.001536

Passo 6

Por fim, a probabilidade para todos os 6 candidatos passarem:
P(X = 6) = C(6, 6) times (0.2)^6 times (0.8)^0
Calculando:
C(6, 6) = 1
Então:
P(X = 6) = 1 times (0.2)^6 times 1 approx 0.000064

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade de pelo menos 4 candidatos passarem, a gente soma as probabilidades que calculamos:
P(X >= 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)
Vamos somar:
P(X >= 4) approx 0.01536 + 0.001536 + 0.000064 approx 0.01696

Resposta

A probabilidade de, ao escolher 6 candidatos, pelo menos 4 deles conseguirem passar para a segunda etapa é aproximadamente 1,7%.

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