Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos,
dos candidatos do concurso tem conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda fase. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo 4 deles conseguirem nota para participar da segunda etapa?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um concurso com duas etapas, e historicamente, 20% dos candidatos passam para a segunda fase. A pergunta é: se a gente escolher 6 candidatos, qual é a probabilidade de pelo menos 4 deles conseguirem passar para a segunda etapa? Vamos usar conceitos de probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade binomial”. Essa distribuição é usada quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados: sucesso ou fracasso. No nosso caso, cada candidato pode ou não passar para a segunda fase, com uma probabilidade de sucesso de 20% (ou 0,2).
Passo 3
A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
- $ n $ é o número de tentativas (no nosso caso, 6 candidatos),
- $ k $ é o número de sucessos desejados (4, 5 ou 6),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,2),
- $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade para exatamente 4 candidatos passarem:
Calculando:
Então:
Passo 5
Agora, a probabilidade para exatamente 5 candidatos passarem:
Calculando:
Então:
Passo 6
Por fim, a probabilidade para todos os 6 candidatos passarem:
Calculando:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar a probabilidade de pelo menos 4 candidatos passarem, a gente soma as probabilidades que calculamos:
Vamos somar:
Resposta
A probabilidade de, ao escolher 6 candidatos, pelo menos 4 deles conseguirem passar para a segunda etapa é aproximadamente 1,7%.