Se
das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, qual é a probabilidade de que em 5 dessas peças escolhidas aleatoriamente:
(f) no máximo 2 perfeitas.
(f) no máximo 2 perfeitas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. O enunciado diz que 5% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. Queremos saber qual é a chance de, ao escolhermos 5 peças aleatoriamente, no máximo 2 delas serem perfeitas. Ou seja, queremos saber a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 peças perfeitas nessa seleção de 5.
Para resolver isso, vamos usar o modelo de distribuição binomial, que é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” pode ser considerado uma peça perfeita e “fracasso” uma peça defeituosa.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
- n: número de tentativas (no nosso caso, 5 peças escolhidas).
- p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa (probabilidade de uma peça ser perfeita).
Sabemos que 5% das peças são defeituosas, então a probabilidade de uma peça ser perfeita é 95%, ou seja, $ p = 0,95 $.
Passo 3
Agora, queremos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 peças perfeitas em 5 escolhidas. Isso significa calcular a soma das probabilidades de ter:
- 0 peças perfeitas,
- 1 peça perfeita,
- 2 peças perfeitas.
Vamos usar a fórmula da distribuição binomial para cada caso:
Onde:
- $ C(n, k) $ é o número de combinações de n itens tomados k a k,
- $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos desejados,
- $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos.
Passo 4
Vamos calcular cada um dos casos:
- P(X = 0):
- P(X = 1):
- P(X = 2):
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de ter no máximo 2 peças perfeitas:
Resposta
A probabilidade de, em 5 peças escolhidas aleatoriamente, no máximo 2 serem perfeitas é aproximadamente 0,1429%.