Se 5 % das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, qual é a probabilidade de que em 5 dessas peças escolhidas aleatoriamente:
(f) no máximo 2 perfeitas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. O enunciado diz que 5% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. Queremos saber qual é a chance de, ao escolhermos 5 peças aleatoriamente, no máximo 2 delas serem perfeitas. Ou seja, queremos saber a probabilidade de ter 0, 1 ou 2 peças perfeitas nessa seleção de 5.
Para resolver isso, vamos usar o modelo de distribuição binomial, que é ótimo para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso). Aqui, “sucesso” pode ser considerado uma peça perfeita e “fracasso” uma peça defeituosa.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os parâmetros da distribuição binomial:
  • n: número de tentativas (no nosso caso, 5 peças escolhidas).
  • p: probabilidade de sucesso em uma única tentativa (probabilidade de uma peça ser perfeita).
Sabemos que 5% das peças são defeituosas, então a probabilidade de uma peça ser perfeita é 95%, ou seja, $ p = 0,95 $.

Passo 3

Agora, queremos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 peças perfeitas em 5 escolhidas. Isso significa calcular a soma das probabilidades de ter:
  • 0 peças perfeitas,
  • 1 peça perfeita,
  • 2 peças perfeitas.
Vamos usar a fórmula da distribuição binomial para cada caso:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ C(n, k) $ é o número de combinações de n itens tomados k a k,
  • $ p^k $ é a probabilidade de sucesso elevado ao número de sucessos desejados,
  • $ (1 - p)^{n - k} $ é a probabilidade de fracasso elevado ao número de fracassos.

Passo 4

Vamos calcular cada um dos casos:
  1. P(X = 0):
C(5, 0) times 0,95^0 times 0,05^5 = 1 times 1 times 0,05^5 = 0,000003125
  1. P(X = 1):
C(5, 1) times 0,95^1 times 0,05^4 = 5 times 0,95 times 0,00000625 = 0,000296875
  1. P(X = 2):
C(5, 2) times 0,95^2 times 0,05^3 = 10 times 0,9025 times 0,000125 = 0,00112890625

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter a probabilidade total de ter no máximo 2 peças perfeitas:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
P(X <= 2) = 0,000003125 + 0,000296875 + 0,00112890625 = 0,00142890625

Resposta

A probabilidade de, em 5 peças escolhidas aleatoriamente, no máximo 2 serem perfeitas é aproximadamente 0,1429%.

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