O índice de aprovação a respeito da qualidade das refeççõ servidas em um restaurante universitário é momentaneamente de 50 %. No entanto, através de uma movimentação geral dos estudantes, a direção do restaurante juntamente com a nutricionista responsável fizeram algumas mudanças e agora desejam verificar se tais mudanças surtiram de fato efeito sobre a satisfação dos estudantes. Para isso, sorteou-se aleatoriamente 500 estudantes usuários do restaurante, dos quais 350 revelaram aprovar a qualidade da comida. Nessas condições, qual seria sua conclusão? Obs.: Utilize um nível de significância de 1 %.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente sabe que a aprovação da qualidade das refeições no restaurante universitário estava em 50%. Depois de algumas mudanças feitas pela direção e pela nutricionista, eles querem saber se essas mudanças realmente melhoraram a satisfação dos estudantes. Para verificar isso, eles pesquisaram 500 estudantes e descobriram que 350 aprovaram a qualidade da comida. Nosso objetivo aqui é concluir se essas mudanças fizeram diferença, usando um nível de significância de 1%.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um teste de hipótese. Basicamente, é uma maneira de verificar se uma suposição sobre uma população (nossa hipótese) é verdadeira ou não, com base em uma amostra de dados.
Aqui, nossa hipótese inicial (hipótese nula) é que a aprovação da qualidade das refeições ainda é 50%, ou seja, não houve mudança. A hipótese alternativa é que a aprovação mudou, ou seja, é diferente de 50%.

Passo 3

Vamos definir as hipóteses matematicamente:
  • Hipótese nula (H₀): p = 0,50
  • Hipótese alternativa (H₁): p ≠ 0,50
Onde p é a proporção de aprovação da qualidade das refeições.

Passo 4

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra:
p = número de aprovaçõestamanho da amostra = 350500 = 0,70 úçõ
Então, na nossa amostra, 70% dos estudantes aprovaram a qualidade da comida.

Passo 5

Em seguida, calculamos o erro padrão (σ) da proporção usando a fórmula:
sigma = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,50 times 0,50500 = raiz0,25500 = raiz0,0005 approx 0,0224
Aqui, $ p_0 $ é a proporção sob a hipótese nula (50%) e n é o tamanho da amostra (500).

Passo 6

Agora, calculamos o estatístico de teste (z), que nos ajuda a determinar quantos desvios padrão a proporção observada está da proporção esperada sob a hipótese nula:
z = p - p0sigma = 0,70 - 0,500,0224 approx 0,200,0224 approx 8,93

Passo 7

Vamos comparar o valor de z com o valor crítico para um nível de significância de 1%. Como estamos fazendo um teste bilateral (estamos verificando se a proporção mudou, seja para mais ou para menos), o valor crítico para z será aproximadamente ±2,576.

Passo 8

Nosso valor calculado de z é 8,93, que é muito maior que 2,576. Isso significa que a diferença observada entre a proporção da amostra e a proporção da hipótese nula é estatisticamente significativa.

Passo 9

Como o valor de z calculado excede o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Isso indica que há evidências suficientes para afirmar que as mudanças realizadas no restaurante universitário tiveram um efeito positivo na satisfação dos estudantes.

Resposta

Com base nos cálculos e no nível de significância de 1%, concluímos que as mudanças implementadas no restaurante universitário efetivamente melhoraram a satisfação dos estudantes em relação à qualidade das refeições.

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