Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de
a probabilidade de ser aceso. Então, determine a probabilidade de que, neste instante pelo menos 5 refletores sejam acesos simultaneamente.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um palco com 6 refletores, e cada um tem 2/3 de chance de estar aceso em um certo momento. A questão pede para descobrir a probabilidade de pelo menos 5 refletores estarem acesos ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (no caso, aceso ou apagado).
Passo 2
Primeiro, vamos entender que “pelo menos 5 refletores acesos” significa que ou exatamente 5 estão acesos ou todos os 6 estão acesos. Então, precisaremos calcular essas duas probabilidades separadamente e depois somá-las.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 refletores estarem acesos. A fórmula da distribuição binomial é:
Aqui, $ n = 6 $ (número total de refletores), $ k = 5 $, e $ p = \frac{2}{3} $ (probabilidade de um refletor estar aceso).
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de todos os 6 refletores estarem acesos. Usamos a mesma fórmula com $ k = 6 $:
Então,
Passo 5
Por fim, somamos as duas probabilidades para obter a chance de pelo menos 5 refletores estarem acesos:
Calculando os valores:
Então,
Resposta
A probabilidade de que pelo menos 5 refletores estejam acesos simultaneamente é $ \frac{256}{729} $, aproximadamente 0,351 ou 35,1%.