Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2 / 3 a probabilidade de ser aceso. Então, determine a probabilidade de que, neste instante pelo menos 5 refletores sejam acesos simultaneamente.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um palco com 6 refletores, e cada um tem 2/3 de chance de estar aceso em um certo momento. A questão pede para descobrir a probabilidade de pelo menos 5 refletores estarem acesos ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que é ótima para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis saídas (no caso, aceso ou apagado).

Passo 2

Primeiro, vamos entender que “pelo menos 5 refletores acesos” significa que ou exatamente 5 estão acesos ou todos os 6 estão acesos. Então, precisaremos calcular essas duas probabilidades separadamente e depois somá-las.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de exatamente 5 refletores estarem acesos. A fórmula da distribuição binomial é:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Aqui, $ n = 6 $ (número total de refletores), $ k = 5 $, e $ p = \frac{2}{3} $ (probabilidade de um refletor estar aceso).
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
n = 6
Então, substituindo na fórmula:
k = 5

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de todos os 6 refletores estarem acesos. Usamos a mesma fórmula com $ k = 6 $:
k = 6
Então,
binom66 = 1

Passo 5

Por fim, somamos as duas probabilidades para obter a chance de pelo menos 5 refletores estarem acesos:
P(pelo menos 5) = P(5) + P(6)
Calculando os valores:
P(5) = 6 times (32243) times (13) = 6 times 32729 = 192729
P(6) = 64729
Então,
P(pelo menos 5) = 192729 + 64729 = 256729

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 5 refletores estejam acesos simultaneamente é $ \frac{256}{729} $, aproximadamente 0,351 ou 35,1%.

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