Em um determinado condomínio residencial:
  • 30 % das famílias não têm filhos
  • 40 % das famílias têm 1 filho
  • 20 % das famílias têm 2 filhos
  • 10 % das famílias têm 3 filhos
Seja X o número de filhos de uma família sorteada ao acaso dentro desse condomínio residencial.
a) Determine as funções de probabilidade e de distribuição acumulada de X.
b) Calcule a média e o desvio padrão de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidades em um condomínio residencial. A ideia é entender como se distribuem as famílias de acordo com o número de filhos que elas têm. Para resolver isso, vamos precisar entender funções de probabilidade, funções de distribuição acumulada, média e desvio padrão. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de probabilidade (PMF) do número de filhos, $ X $. A PMF mostra a probabilidade de cada possível valor de $ X $.
Temos os dados:
  • $ P(X = 0) = 30% = 0.3 $
  • $ P(X = 1) = 40% = 0.4 $
  • $ P(X = 2) = 20% = 0.2 $
  • $ P(X = 3) = 10% = 0.1 $
Então, a função de probabilidade fica assim:
X á

Passo 3

Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (CDF), que mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos acumular as probabilidades:
  • $ F(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.3 $
  • $ F(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7 $
  • $ F(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.3 + 0.4 + 0.2 = 0.9 $
  • $ F(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.3 + 0.4 + 0.2 + 0.1 = 1.0 $
Então, a função de distribuição acumulada fica:
X

Passo 4

Vamos para a média, também conhecida como valor esperado $ E(X) $. A média nos dá uma ideia de quantos filhos, em média, uma família tem.
A fórmula para a média é:
E(X)
Calculando:
E(X) = sum x cdot P(X = x)
Então, a média é 1.1 filhos por família.

Passo 5

Por último, vamos calcular o desvio padrão, que nos mostra o quanto os dados estão espalhados em relação à média. Primeiro, precisamos calcular a variância $ Var(X) $.
A fórmula da variância é:
Var(X)
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Agora, a variância:
E(X^2)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
E(X^2) = sum x^2 cdot P(X = x) = 0^2 cdot 0.3 + 1^2 cdot 0.4 + 2^2 cdot 0.2 + 3^2 cdot 0.1 = 0 + 0.4 + 0.8 + 0.9 = 2.1 ã

Resposta

a) Função de Probabilidade (PMF) de $ X $:
X á
Função de Distribuição Acumulada (CDF) de $ X $:
P(X = x) = 0.3 & se x = 0 0.4 & se x = 1 0.2 & se x = 2 0.1 & se x = 3 0 & caso contrário
b) Média de $ X $: $ E(X) = 1.1 $ filhos
Desvio Padrão de $ X $: Aproximadamente $ 0.943 $ filhos

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