Em um determinado condomínio residencial:
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das famílias não têm filhos
-
das famílias têm 1 filho
-
das famílias têm 2 filhos
-
das famílias têm 3 filhos
Seja
o número de filhos de uma família sorteada ao acaso dentro desse condomínio residencial.
a) Determine as funções de probabilidade e de distribuição acumulada de
.
b) Calcule a média e o desvio padrão de
.
a) Determine as funções de probabilidade e de distribuição acumulada de
b) Calcule a média e o desvio padrão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidades em um condomínio residencial. A ideia é entender como se distribuem as famílias de acordo com o número de filhos que elas têm. Para resolver isso, vamos precisar entender funções de probabilidade, funções de distribuição acumulada, média e desvio padrão. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de probabilidade (PMF) do número de filhos, $ X $. A PMF mostra a probabilidade de cada possível valor de $ X $.
Temos os dados:
- $ P(X = 0) = 30% = 0.3 $
- $ P(X = 1) = 40% = 0.4 $
- $ P(X = 2) = 20% = 0.2 $
- $ P(X = 3) = 10% = 0.1 $
Então, a função de probabilidade fica assim:
Passo 3
Agora, vamos construir a função de distribuição acumulada (CDF), que mostra a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos acumular as probabilidades:
- $ F(X \leq 0) = P(X = 0) = 0.3 $
- $ F(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.3 + 0.4 = 0.7 $
- $ F(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.3 + 0.4 + 0.2 = 0.9 $
- $ F(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.3 + 0.4 + 0.2 + 0.1 = 1.0 $
Então, a função de distribuição acumulada fica:
Passo 4
Vamos para a média, também conhecida como valor esperado $ E(X) $. A média nos dá uma ideia de quantos filhos, em média, uma família tem.
A fórmula para a média é:
Calculando:
Então, a média é 1.1 filhos por família.
Passo 5
Por último, vamos calcular o desvio padrão, que nos mostra o quanto os dados estão espalhados em relação à média. Primeiro, precisamos calcular a variância $ Var(X) $.
A fórmula da variância é:
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
Agora, a variância:
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
a) Função de Probabilidade (PMF) de $ X $:
Função de Distribuição Acumulada (CDF) de $ X $:
b) Média de $ X $: $ E(X) = 1.1 $ filhos
Desvio Padrão de $ X $: Aproximadamente $ 0.943 $ filhos