Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de 69^{\circ} \mathrm{C} e é circundada por água a \mathrm{T}_{\infty}=25^{\circ} \mathrm{C}. Determine o fluxo de
calor total em watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações: (a) a água está em repouso; (b) a água se movimenta com uma velocidade ascendente de U_{\infty}=0,04 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada?

Passo 1

Temos uma esfera de cobre de diâmetro D=1{,}0\;\mathrm{cm}=0{,}01\;\mathrm{m} com temperatura de superfície T_{s}=69\,^{\circ}\mathrm{C} imersa em água a T_{\infty}=25\,^{\circ}\mathrm{C}. Precisamos calcular o fluxo de calor total
(a) por convecção natural (água em repouso),
(b) por convecção forçada (velocidade ascendente U_{\infty}=0{,}04\;\mathrm{m/s})
(c) determinar a velocidade a partir da qual a convecção natural pode ser desprezada.
O conteúdo usado será: correlação de Churchill & Chu para esfera na convecção natural e correlação de Ranz–Marshall para convecção forçada em esfera, além das propriedades da água no filme térmico.

Passo 2

Adotamos a temperatura de filme
T_{f}=\frac{T_{s}+T_{\infty}}{2}=\frac{69+25}{2}=47\,^{\circ}\mathrm{C}.
Das tabelas para água a 47\,^{\circ}\mathrm{C} obtemos (valores típicos)
k=0{,}643\;\mathrm{W/m\,K},\quad \Pr=3{,}05,\quad \nu=5{,}49\times10^{-7}\;\mathrm{m^{2}/s},\quad \alpha=\frac{k}{\rho c_{p}}\approx1{,}55\times10^{-7}\;\mathrm{m^{2}/s},\quad \beta=\frac{1}{T_{f,\mathrm{K}}}=\frac{1}{320}\approx0{,}003125\;\mathrm{K^{-1}}.
A área externa da esfera é
A=4\pi r^{2}=\pi D^{2}=\pi(0{,}01)^{2}=3{,}1416\times10^{-4}\;\mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Convecção natural: calculamos o número de Rayleigh
\Ra=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,D^{3}}{\alpha\,\nu} =\frac{9{,}81\cdot0{,}003125\cdot(69-25)\cdot(0{,}01)^{3}} {(1{,}55\times10^{-7})(5{,}49\times10^{-7})} \approx1{,}64\times10^{7}.
Usamos a correlação de Churchill & Chu para esfera
\Nu_{\text{nat}}=2 +\frac{0,589\,\Ra^{1/4}}{\bigl[1+(0,469/\Pr)^{9/16}\bigr]^{4/9}} \approx2+\frac{0,589\,(1{,}64\times10^{7})^{1/4}}{\bigl[1+(0,469/3{,}05)^{9/16}\bigr]^{4/9}} \approx34{,}82.
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h_{\text{nat}} =\frac{\Nu_{\text{nat}}\,k}{D} =\frac{34{,}82\cdot0{,}643}{0{,}01} \approx2{,}239\times10^{3}\;\mathrm{W/m^{2}K},
q_{\text{nat}}=h_{\text{nat}}\,A\,(T_{s}-T_{\infty}) =2{,}239\times10^{3}\cdot3{,}1416\times10^{-4}\cdot44 \approx30{,}96\;\mathrm{W}.

Passo 4

Convecção forçada ( U_{\infty}=0{,}04\;\mathrm{m/s}):
\Re=\frac{U_{\infty}D}{\nu} =\frac{0{,}04\cdot0{,}01}{5{,}49\times10^{-7}} \approx729.
Correlação de Ranz–Marshall para esfera
\Nu_{\text{for}}=2+0,6\,\Re^{1/2}\Pr^{1/3} =2+0,6\cdot729^{1/2}\cdot3{,}05^{1/3} \approx25{,}32,
h_{\text{for}} =\frac{\Nu_{\text{for}}\,k}{D} =\frac{25{,}32\cdot0{,}643}{0{,}01} \approx1{,}627\times10^{3}\;\mathrm{W/m^{2}K},
q_{\text{for}}=h_{\text{for}}\,A\,(T_{s}-T_{\infty}) =1{,}627\times10^{3}\cdot3{,}1416\times10^{-4}\cdot44 \approx22{,}49\;\mathrm{W}.

Passo 5

Para que a convecção natural seja desprezável comparada à forçada, basta ter \Re^{2}\gg\Gr, onde \Gr=\Ra/\Pr. Tomando \Re^{2}=\Gr como limite,
\Gr=\frac{1{,}64\times10^{7}}{3{,}05}\approx5{,}36\times10^{6}, \quad \Re_{\text{crit}}=\sqrt{\Gr}\approx2{,}315\times10^{3}.
Assim
U_{\text{crit}} =\frac{\Re_{\text{crit}}\,\nu}{D} =\frac{2{,}315\times10^{3}\cdot5{,}49\times10^{-7}}{0{,}01} \approx0{,}13\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) q_{\text{nat}}\approx30{,}96\;\mathrm{W}.
(b) q_{\text{for}}\approx22{,}49\;\mathrm{W}.
(c) A convecção natural pode ser desprezada para U_{\infty}\gtrsim0{,}13\;\mathrm{m/s}.

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