The external surface of a spherical container with the diameter D=3 \mathrm{~m} has a temperature of 10^{\circ} \mathrm{C}. The container is surrounded by 30^{\circ} \mathrm{C} air, which is motionless except in the immediate vicinity of the container.
(a) Calculate the total heat transfer rate absorbed by the spherical container.
(b) It is proposed to replace the spherical container with one shaped as a horizontal cylinder with the diameter d=1.5 \mathrm{~m}. This new container would have the same volume as the old one. Calculate the total heat transfer rate absorbed by the cylindrical container.
(c) Which container design would you choose if your objective is to prevent the warming of the liquid stored inside the container?

Passo 1

O enunciado descreve um recipiente esférico de diâmetro D=3{,}0\\ \mathrm{m} com a superfície externa mantida a T_s=10^\circ\mathrm{C}, imerso em ar calmo a T_\infty=30^\circ\mathrm{C}.
O objetivo é (a) calcular a taxa de calor absorvida pela esfera; (b) substituir o recipiente por um cilindro horizontal de diâmetro d=1{,}5\\ \mathrm{m} e mesmo volume, calcular sua taxa de calor; (c) decidir qual forma minimiza o aquecimento interno.
Conteúdo: convecção natural em superfícies curvas. Vamos determinar o coeficiente convectivo h usando correlações com o número de Rayleigh \mathrm{Ra}=\mathrm{Gr}\,\mathrm{Pr}, onde
\mathrm{Gr}=\frac{g\,\beta\,(T_\infty - T_s)\,L^3}{\nu^2},
e então
\dot Q = h\,A\,(T_\infty - T_s).

Passo 2

Convecção natural ao redor de uma esfera de comprimento característico L=D.
Calculemos primeiro os parâmetros de filme térmico:
T_f = \frac{T_\infty + T_s}{2} = \frac{30 + 10}{2} = 20^\circ\mathrm{C}\quad\Rightarrow\quad T_f = 293\\ \mathrm{K}.
Para o ar, tomamos \beta = 1/T_f = 1/293\\ \mathrm{K}^{-1}, \nu = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, \Pr = 0{,}71.
\Delta T = T_\infty - T_s = 20\\ \mathrm{K},\quad D=3{,}0\\ \mathrm{m}.
O número de Grashof é
\mathrm{Gr} = \frac{9{,}81 \cdot \frac{1}{293}\cdot 20 \cdot (3)^3}{(1{,}5\times 10^{-5})^2} \approx 8{,}0\times 10^{10},
logo \mathrm{Ra}=\mathrm{Gr}\,\Pr\approx 5{,}7\times10^{10}.
Para 10^4<\mathrm{Ra}<10^{12} usamos a correlação
\mathrm{Nu} = 2 + 0.6\,\mathrm{Ra}^{1/4} \approx 2 + 0.6\,(5{,}7\times10^{10})^{1/4}\approx 295.
Assim,
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{D} = \frac{295\cdot 0{,}026}{3{,}0} \approx 2{,}56\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
A área externa da esfera é
A = 4\pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = 4\pi (1{,}5)^2 = 9\pi\\ \mathrm{m}^2.
Portanto, a taxa de calor absorvida é
\dot Q_{\rm esfera} = h\,A\,\Delta T = 2{,}56 \times 9\pi \times 20 \approx 1447\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Substituindo por um cilindro horizontal de diâmetro d=1{,}5\\ \mathrm{m} e mesmo volume.
Volume da esfera:
V_{\rm esp} = \tfrac{4}{3}\pi \left(\tfrac{D}{2}\right)^3 = \tfrac{4}{3}\pi (1{,}5)^3 = 4{,}5\pi\\ \mathrm{m}^3.
Volume do cilindro:
V_{\rm cil} = \pi \left(\tfrac{d}{2}\right)^2 L = \pi (0{,}75)^2 L = 0{,}5625\pi\,L.
Igualando V_{\rm cil}=V_{\rm esp} L=8{,}0\\ \mathrm{m}.
Para convecção natural em cilindro horizontal usamos, para \mathrm{Ra}>10^9,
\mathrm{Nu} = 0.13\,\mathrm{Ra}^{1/3}.
Compute-se \mathrm{Gr} trocando L\to d=1{,}5\\ \mathrm{m}, mantendo \Delta T, \beta,\nu:
\mathrm{Gr}\approx 1{,}0\times10^{10}, \quad \mathrm{Ra}=\mathrm{Gr}\,\Pr\approx 7{,}1\times10^9,
\mathrm{Nu}\approx 0.13\,(7{,}1\times10^9)^{1/3} \approx 249,
h = \frac{\mathrm{Nu}\,k}{d} = \frac{249\cdot0{,}026}{1{,}5} \approx 4{,}32\\ \mathrm{W/(m^2K)}.
A área externa total do cilindro (lateral + duas bases) é
A = \pi d L + 2\pi\left(\tfrac{d}{2}\right)^2 = \pi\cdot1{,}5\cdot8 + 2\pi\cdot0{,}75^2 = 12\pi +1{,}125\pi =13{,}125\pi\\ \mathrm{m}^2.
Logo
\dot Q_{\rm cil} = h\,A\,\Delta T = 4{,}32 \times 13{,}125\pi \times 20 \approx 3557\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Comparando as taxas:
\dot Q_{\rm esfera}\approx1{,}45\\ \mathrm{kW} e
\dot Q_{\rm cil}\approx3{,}56\\ \mathrm{kW}.
A esfera absorve menos calor porque tem menor razão área/volume e menor coeficiente convectivo resultante de seu diâmetro maior.

Resposta

\dot Q_{\rm esfera}\approx1{,}45\\ \mathrm{kW}, \dot Q_{\rm cilindro}\approx3{,}56\\ \mathrm{kW},
Portanto, para minimizar o aquecimento interno, escolhe-se o recipiente esférico.

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