A long, rectangular metallic blade has width H=4 \mathrm{~cm} and temperature T w= 40^{\circ} \mathrm{C}. It is surrounded on both sides by atmospheric air at T_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C}. The long side of the blade is always horizontal. Calculate the total heat transfer rate per unit of blade length when the short side of its rectangular shape (H) is (\mathbf{a}) vertical, (b) inclined at 45^{\circ} relative to the vertical, and (c) horizontal. Comment on the effect that blade orientation has on the total heat transfer rate.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por convecção natural de uma lâmina metálica de espessura (ou “altura”) H=4\\ \text{cm}=0,04\\ \text{m} e comprimento unitário (1 m em profundidade), com temperatura de superfície T_w=40\,^\circ\mathrm{C} imersa em ar ambiente a T_{\infty}=20\,^\circ\mathrm{C}. Vamos aplicar correlações de convecção natural para placas finas de orientação (a) vertical, (b) inclinada a 45^\circ e (c) horizontal (com as duas faces, uma voltada para cima e outra para baixo). Precisaremos de propriedades do ar no filme térmico \displaystyle T_f=(T_w+T_{\infty})/2=30\,^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Propriedades do ar em T_f=30\,^\circ\mathrm{C} (tabela típica):
\displaystyle k=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\quad \nu=1{,}7\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\quad \Pr=0{,}7,\quad \beta=1/T_f\approx1/303\\ \mathrm{K^{-1}}.
A diferença de temperatura é \Delta T=T_w-T_{\infty}=20\\ \mathrm{K}.

Passo 3

(a) Placa vertical (cada face da lâmina).
  1. Calcular o número de Grashof característico:
Gr_H=\frac{g\,\beta\,\Delta T\,H^3}{\nu^2} =\frac{9{,}81\cdot(1/303)\cdot20\cdot(0,04)^3}{(1{,}7\times10^{-5})^2} \approx1{,}4\times10^5
  1. Número de Rayleigh: \displaystyle Ra_H=Gr_H\,Pr\approx1{,}0\times10^5.
  2. Correlação de Nu para placa vertical (laminar):
Nu_H =0{,}68 +\frac{0{,}670\,Ra_H^{1/4}}{\bigl[1+(0{,}492/Pr)^{9/16}\bigr]^{4/9}} \approx9{,}8
  1. Coeficiente convectivo:
h=\frac{Nu_H\,k}{H} =\frac{9{,}8\cdot0{,}026}{0,04}\approx6{,}37\\ \mathrm{W/(m^2K)}
  1. Taxa de calor por unidade de comprimento (duas faces, área total 2H\times1):
\dot q'_{(a)} =h\,(2H)\,\Delta T =6{,}37\cdot2\cdot0,04\cdot20 \approx10{,}2\\ \mathrm{W/m}

Passo 4

(b) Placa inclinada a \theta=45^\circ (mesma correlação, substituindo Ra_H por Ra_H\cos\theta):
Ra_{\rm eff}=Ra_H\cos45^\circ\approx1{,}0\times10^5\cdot0{,}707=7,07\times10^4
Nu_{\rm incl} =0{,}68 +\frac{0{,}670\,Ra_{\rm eff}^{1/4}}{\bigl[1+(0{,}492/Pr)^{9/16}\bigr]^{4/9}} \approx9{,}05
h_{\rm incl}=\frac{Nu_{\rm incl}\,k}{H}\approx\frac{9{,}05\cdot0{,}026}{0,04}=5{,}88\\ \mathrm{W/(m^2K)}
\dot q'_{(b)} =h_{\rm incl}\,(2H)\,\Delta T =5{,}88\cdot2\cdot0,04\cdot20 \approx9{,}4\\ \mathrm{W/m}

Passo 5

(c) Placa horizontal de espessura H, uma face para cima (superfície aquecida voltada para cima) e outra para baixo (voltada para baixo):
  1. Face voltada para cima (“horizontal quente acima de ar frio”):
Nu_{\uparrow}=0{,}54\,Ra_H^{1/4} =0{,}54\,(1{,}0\times10^5)^{1/4}\approx9{,}6, \quad h_{\uparrow}=\frac{Nu_{\uparrow}\,k}{H}\approx6{,}24\\ \mathrm{W/(m^2K)}
  1. Face voltada para baixo (“horizontal quente abaixo de ar frio” – convecção mais fraca):
Nu_{\downarrow}=0{,}15\,Ra_H^{1/3} =0{,}15\,(1{,}0\times10^5)^{1/3}\approx6{,}96, \quad h_{\downarrow}=\frac{Nu_{\downarrow}\,k}{H}\approx4{,}52\\ \mathrm{W/(m^2K)}
  1. Taxa total por comprimento:
\dot q'_{\text{(c)}} =(h_{\uparrow}+h_{\downarrow})\,H\,\Delta T =(6{,}24+4{,}52)\,0,04\cdot20 \approx8{,}6\\ \mathrm{W/m}

Passo 6

Resumo das taxas de calor por unidade de comprimento:
\dot q'_{(a)}\approx10{,}2\\ \mathrm{W/m},\quad \dot q'_{(b)}\approx9{,}4\\ \mathrm{W/m},\quad \dot q'_{\text{(c)}}\approx8{,}6\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Comentário: ao passar de vertical para horizontal, a taxa de convecção natural diminui porque o escoamento “gruda” menos no corpo e se forma uma camada limite mais espessa, reduzindo o coeficiente convectivo. A inclinação a 45^\circ dá valor intermediário entre as situações vertical e horizontal.

Resposta

(a) \dot q'\approx10{,}2\\ \mathrm{W/m}
(b) \dot q'\approx9{,}4\\ \mathrm{W/m}
(c) \dot q'\approx8{,}6\\ \mathrm{W/m}

Exercícios relacionados