Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Identifique também os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde a função
está crescendo ou decrescendo. Além disso, vamos identificar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como
está mudando em cada ponto. A derivada de
será chamada de
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função:
- A derivada de
é (usamos a regra do poder: ). - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é (constante não varia).
Então, a derivada da função é:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a derivada:
Podemos fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, escolhemos valores de
em cada intervalo definido pelos pontos críticos e avaliamos o sinal de
:
-
Intervalo
: - Escolha
. -
. - Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
. -
. - A derivada é negativa, então a função está decrescendo aqui.
- Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
. -
. - Derivada positiva, função está crescendo novamente.
- Escolha
Passo 7
Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo locais:
-
Em
: - A derivada muda de positiva para negativa quando passamos de
para . - Isso indica um ponto de máximo local.
- A derivada muda de positiva para negativa quando passamos de
-
Em
: - A derivada muda de negativa para positiva ao passar por
. - Isso indica um ponto de mínimo local.
- A derivada muda de negativa para positiva ao passar por
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
. Além disso, possui um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
.