Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função f(x)=x^3-3 x^2-9 x+5. Identifique também os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar onde a função f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 está crescendo ou decrescendo. Além disso, vamos identificar os pontos onde a função tem máximos ou mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como f(x) está mudando em cada ponto. A derivada de f(x) será chamada de f'(x) .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função:
  • A derivada de x^3 é 3x^2 (usamos a regra do poder: d/dx [x^n] = n x^n-1 ).
  • A derivada de -3x^2 é -6x .
  • A derivada de -9x é -9 .
  • A derivada de 5 é 0 (constante não varia).
Então, a derivada da função é:
f'(x) = 3x^2 - 6x - 9

Passo 4

Agora, vamos simplificar a derivada:
f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3)
Podemos fatorar o polinômio dentro dos parênteses:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Então, a derivada fica:
f'(x) = 3(x - 3)(x + 1)

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos, precisamos resolver f'(x) = 0 :
3(x - 3)(x + 1) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x - 3 = 0 Rightarrow x = 3
x + 1 = 0 Rightarrow x = -1
Então, os pontos críticos são x = 3 e x = -1 .

Passo 6

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, escolhemos valores de x em cada intervalo definido pelos pontos críticos e avaliamos o sinal de f'(x) :
  1. Intervalo x < -1 :
    • Escolha x = -2 .
    • f'(-2) = 3(-2 - 3)(-2 + 1) = 3(-5)(-1) = 15 > 0 .
    • Como a derivada é positiva, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo -1 < x < 3 :
    • Escolha x = 0 .
    • f'(0) = 3(0 - 3)(0 + 1) = 3(-3)(1) = -9 < 0 .
    • A derivada é negativa, então a função está decrescendo aqui.
  3. Intervalo x > 3 :
    • Escolha x = 4 .
    • f'(4) = 3(4 - 3)(4 + 1) = 3(1)(5) = 15 > 0 .
    • Derivada positiva, função está crescendo novamente.

Passo 7

Vamos identificar agora os pontos de máximo e mínimo locais:
  • Em x = -1 :
    • A derivada muda de positiva para negativa quando passamos de x < -1 para x > -1 .
    • Isso indica um ponto de máximo local.
  • Em x = 3 :
    • A derivada muda de negativa para positiva ao passar por x = 3 .
    • Isso indica um ponto de mínimo local.

Resposta

A função f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5 está crescendo nos intervalos (-infty, -1) e (3, +infty) , e está decrescendo no intervalo (-1, 3) . Além disso, possui um ponto de máximo local em x = -1 e um ponto de mínimo local em x = 3 .

Exercícios relacionados