A temperatura de um café, logo depois de ser coado, é de
. Um minuto depois, constata-se que sua temperatura passa para
. Sabendo que a temperatura da cozinha, onde está o café, é constante e igual a
, responda:
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo
, em minutos.
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo
Passo 1
O enunciado descreve um café cuja temperatura inicial é de
imediatamente após ser coado e cai para
após
minuto. A temperatura ambiente (cozinha) é constante e igual a
. O conteúdo da matéria é a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente.
Passo 2
Modelamos esse comportamento pela equação diferencial
onde
é a temperatura do café em minutos,
e
é a constante de resfriamento.
Passo 3
A solução geral dessa equação é
para alguma constante
. Usando a condição inicial
, obtemos
Logo,
Passo 4
Para determinar
, utilizamos
:
Tomando logaritmo natural,
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, obtemos a função que dá a temperatura do café no instante
:
Como
, isso simplifica para