A temperatura de um café, logo depois de ser coado, é de 90^circ C. Um minuto depois, constata-se que sua temperatura passa para 85^circ C. Sabendo que a temperatura da cozinha, onde está o café, é constante e igual a 25^circ C, responda:
Resolvendo a equação diferencial que modela o problema, determine a função que fornece a temperatura do café no instante de tempo t, em minutos.

Passo 1

O enunciado descreve um café cuja temperatura inicial é de 90^circC imediatamente após ser coado e cai para 85^circC após 1 minuto. A temperatura ambiente (cozinha) é constante e igual a 25^circC. O conteúdo da matéria é a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e a do ambiente.

Passo 2

Modelamos esse comportamento pela equação diferencial
dTdt = -kl(T(t)-Tambr),
onde T(t) é a temperatura do café em minutos, Tamb=25^circC e k>0 é a constante de resfriamento.

Passo 3

A solução geral dessa equação é
T(t) = Tamb + C,e^-k t,
para alguma constante C. Usando a condição inicial T(0)=90^circC, obtemos
90 = 25 + CLongrightarrow C = 65
Logo,
T(t) = 25 + 65,e^-k t

Passo 4

Para determinar k, utilizamos T(1)=85^circC:
85 = 25 + 65,e^-kcdot1 Longrightarrow 60 = 65,e^-k Longrightarrow e^-k = 6065 = 1213
Tomando logaritmo natural,
-k = ln!l(tfrac1213r) Longrightarrow k = -ln!l(tfrac1213r) = ln!l(tfrac1312r)

Passo 5

Substituindo k na expressão de T(t), obtemos a função que dá a temperatura do café no instante t:
T(t) = 25 + 65,exp!l(-ln!l(tfrac1312r),tr)
Como exp(-ln(a),t) = a^-t, isso simplifica para
T(t) = 25 + 65l(tfrac1213r)^t

Resposta

T(t) = 25 + 65l(tfrac1213r)^t(em ^circC)

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