Um determinado fabricante garante que suas máquinas produzem apenas 5 % de peças defeituosas. A fim de verificar a veracidade desta afirmação, analisaram-se 1000 peças produzidas por uma máquina observando-se que 40 peças apresentaram algum tipo de defeito. Com base nesses resultados, você concluiu que, de fato, as máquinas analisadas produzem apenas 5 % de peças defeituosas considerando-se o nível de significância de 5 % ?

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a proporção de peças defeituosas produzidas por uma máquina. Sabemos que o fabricante afirma que essa proporção é p0 = 0,05. Foi amostrado n=1000 peças e encontradas X=40 defeituosas, ou seja, a proporção amostral é hat p = 40/1000 = 0,04. Vamos realizar um teste de hipótese bilateral ao nível de significância alpha=0,05.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H0: p = p0 = 0,05,
H1: p neq 0,05
Trata-se de um teste bilateral porque queremos verificar se a proporção real difere de 5%, seja para mais ou para menos.

Passo 3

Sob H0, a estatística de teste para proporção é
Z = hat p - p0raizdfracp0(1-p0)n
Substituindo hat p=0,04, p0=0,05 e n=1000, temos
raizp0(1-p0)n =raiz0,05cdot 0,951000 =raiz0,04751000 approx 0,006892,
Z = 0,04 - 0,050,006892 approx -0,010,006892 approx -1,45

Passo 4

Para alpha=0,05 e teste bilateral, a região crítica é Z < -z0,975cupZ > z0,975 com z0,975=1,96. Como |Z|approx1,45 < 1,96, o valor calculado cai na região de aceitação de H0.

Resposta

Não rejeitamos H0. Ou seja, ao nível de significância de 5%, não há evidências suficientes para concluir que a proporção real difere de 5%. Portanto, podemos aceitar a alegação do fabricante.

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