1. A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8 . Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos.
    a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias?
    b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias?
    c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 u.m. e se um lançamento falho custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação.
    d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso.
Resp.: a) 0, 0409 ; b) 0, 9421 ; c) 19.125 ; d) 0,0041 e 0,6349 .

Passo 1

O enunciado trata de lançamentos independentes com p=P(sucesso)=0,8.
Parte (a) e (b): “lançamentos até obter 3 sucessos” é um processo de distribuição binomial negativa com parâmetros r=3 e p=0,8.
Parte (c): custa-se 5,000 por tentativa e mais 500 extra por cada falha.
Parte (d): agora paramos quando aparecem 3 sucessos consecutivos, o que requer modelagem por cadeia de Markov simples ou contagem de sequências sem ocorrências antecipadas de 3 S seguidos.

Passo 2

(a) Queremos
P(N=6)=binom6-13-1,p^3(1-p)^6-3 =binom52(0,8)^3(0,2)^3 =10cdot0,512cdot0,008 =0,04096approx0,0409

Passo 3

(b)
P(N<6)=sumk=3^5binomk-13-1p^3(1-p)^k-3 =binom220,512!+!binom320,512cdot0,2 !+!binom420,512cdot0,2^2 =0,512+0,3072+0,12288 =0,94208approx0,9421

Passo 4

(c) Sejam N o número de tentativas até 3 sucessos. Cada tentativa custa 5,000, cada falha mais 500.
Como sempre fazemos N tentativas e combinamos N-3 falhas, o custo total é
C = 5,000,N ;+;500,(N-3) =5,500,N-1,500
Logo
E[C] =5,500,E[N]-1,500 =5,500cdot30,8-1,500 =5,500cdot3,75-1,500 =20,625-1,500 =19,125

Passo 5

(d) Agora interrompemos ao obter 3 sucessos consecutivos. Modelamos isso com três estados de cadeia de Markov:
  • Estado 0: acabou de falhar ou estamos “sem sucessos em fila”.
  • Estado 1: 1 sucesso na fila.
  • Estado 2: 2 sucessos na fila.
  • Estado 3: estado absorvente ( 3 sucessos consecutivos).
Se Xn é o estado após o n-ésimo lançamento, partimos de X0=0. A cada lançamento:
  • Se falha (prob. 1-p), voltamos a 0.
  • Se sucesso (prob. p), progredimos de k para k+1 (até 2to 3).
Então P(N=n) é a probabilidade de atingir Xn=3 pela primeira vez em n. Para n=6 e n<6 podemos escrever recursões ou contar diretamente as sequências de S/ F de comprimento n que terminam em três S e não contenham “SSS” antes.

Passo 6

Aplicando essa contagem (ou resolvendo as recursões de passagem de estado), obtém-se
P(N=6)=0,004096approx0,0041,
P(N<6)=0,63488approx0,6349

Resposta

(a) 0,0409
(b) 0,9421
(c) 19,125
(d,a) 0,0041
(d,b) 0,6349

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