- A probabilidade de um bem sucedido lançamento de foguete é 0,8 . Suponha que tentativas de lançamento sejam feitas até que tenham ocorrido 3 lançamentos bem sucedidos.
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias?
b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias?
c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 u.m. e se um lançamento falho custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação.
d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso.
Resp.: a) 0,
b) 0,
c)
d) 0,0041 e 0,6349 .
a) Qual é a probabilidade de que exatamente 6 tentativas sejam necessárias?
b) Qual é a probabilidade de que menos de 6 tentativas sejam necessárias?
c) Se cada tentativa de lançamento custa 5.000 u.m. e se um lançamento falho custa500 u.m. adicionais, determine o custo esperado da operação.
d) Suponha agora que as tentativas sejam feitas até que três lançamentos consecutivos sejam bem sucedidos. Responda novamente as perguntas (a) e (b) nesse caso.
Passo 1
O enunciado trata de lançamentos independentes com
.
Parte (a) e (b): “lançamentos até obter sucessos” é um processo de distribuição binomial negativa com parâmetros
e
.
Parte (c): custa-se por tentativa e mais
extra por cada falha.
Parte (d): agora paramos quando aparecem sucessos consecutivos, o que requer modelagem por cadeia de Markov simples ou contagem de sequências sem ocorrências antecipadas de
seguidos.
Parte (a) e (b): “lançamentos até obter
Parte (c): custa-se
Parte (d): agora paramos quando aparecem
Passo 2
(a) Queremos
Passo 3
(b)
Passo 4
(c) Sejam
o número de tentativas até
sucessos. Cada tentativa custa
, cada falha mais
.
Como sempre fazemos tentativas e combinamos
falhas, o custo total é
Como sempre fazemos
Logo
Passo 5
(d) Agora interrompemos ao obter
sucessos consecutivos. Modelamos isso com três estados de cadeia de Markov:
- Estado
: acabou de falhar ou estamos “sem sucessos em fila”. - Estado
: sucesso na fila. - Estado
: sucessos na fila. - Estado
: estado absorvente ( sucessos consecutivos).
Se
é o estado após o
-ésimo lançamento, partimos de
. A cada lançamento:
- Se falha (prob.
), voltamos a . - Se sucesso (prob.
), progredimos de para (até ).
Então
é a probabilidade de atingir
pela primeira vez em
. Para
e
podemos escrever recursões ou contar diretamente as sequências de
/
de comprimento
que terminam em três
e não contenham “SSS” antes.
Passo 6
Aplicando essa contagem (ou resolvendo as recursões de passagem de estado), obtém-se
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d,a)
(d,b)
(b)
(c)
(d,a)
(d,b)