1. A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0,1 . Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes.
    a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de X .
    b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão.
    c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro.
    d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro.
    e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de Y.
    f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão.
    g) Determine o número esperado do número de ensaios até o quarto erro.

Passo 1

O enunciado diz que cada transmissão de bit falha com probabilidade p=0,1, e os ensaios são independentes. Definimos duas variáveis aleatórias:
,X = número de bits até o primeiro erro.
,Y = número de transmissões até o quarto erro.

Passo 2

Para (a) usamos que o número de ensaios até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli é distribuído geometricamente. Assim
P(X=k) = (1-p)^,k-1,p (k=1,2,dots)
ou seja, XsimGeom(p).

Passo 3

Para (b) queremos
P(X>5) = sumk=6^inftyP(X=k) = sumk=6^infty(1-p)^k-1p
Essa soma de cauda da geométrica dá
P(X>5) = (1-p)^5 = 0,9^5

Passo 4

Para (c) usamos a propriedade sem memória da geométrica:
P(X>5 mid X>3) = P(X>5-3) = P(X>2) = (1-p)^2 = 0,9^2

Passo 5

Para (d) a esperança da geométrica é
E(X) = 1p = 10,1 = 10

Passo 6

Para (e) o número de ensaios até o r-ésimo sucesso em Bernoulli é dado pela negativa binomial. Com r=4 e p=0,1 temos
P(Y=k) = binomk-14-1,p^4,(1-p)^,k-4 (k=4,5,dots),
ou seja, YsimNegBin(r=4,p).

Passo 7

Para (f) calculamos
P(Y<=6) = sumk=4^6binomk-13,p^4,(1-p)^k-4 = p^4l[1 + 4(1-p) + 10(1-p)^2r]
Substituindo p=0,1 e 1-p=0,9:
P(Y<=6) = (0,1)^4l[1 + 4cdot0,9 + 10cdot0,9^2r] = 0,0001cdot12,7 = 0,00127

Passo 8

Para (g) a esperança da negativa binomial é
E(Y) = rp = 40,1 = 40

Resposta

(a) XsimGeom(p=0,1) com
P(X=k) = (1-p)^k-1p, k=1,2,dots
(b) P(X>5) = 0,9^5.
(c) P(X>5mid X>3) = 0,9^2.
(d) E(X)=10.
(e) YsimNegBin(r=4,p=0,1) com
P(Y=k) = binomk-13,p^4,(1-p)^k-4, k=4,5,dots
(f) P(Y<=6)=0,00127.
(g) E(Y)=40.

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