- A probabilidade de que um bit seja transmitido com erro por um canal de transmissão digital é 0,1 . Assuma que as transmissões sejam ensaios independentes.
a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de X .
b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão.
c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro.
d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro.
e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de Y.
f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão.
g) Determine o número esperado do número de ensaios até o quarto erro.
a) Seja X o número de bits transmitidos até que ocorra o primeiro erro. Determine a distribuição de X .
b) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão.
c) Determine a probabilidade de se precisar observar mais que 5 ensaios de transmissão, após já se ter observado 3 ensaios, sem que ocorresse erro.
d) Determine o número esperado de ensaios até o primeiro erro.
e) Seja Y o número de transmissões até a ocorrência do quarto erro. Determine a distribuição de Y.
f) Determine a probabilidade de se precisar observar no máximo 6 ensaios de transmissão.
g) Determine o número esperado do número de ensaios até o quarto erro.
Passo 1
O enunciado diz que cada transmissão de bit falha com probabilidade
, e os ensaios são independentes. Definimos duas variáveis aleatórias:
– número de bits até o primeiro erro.
– número de transmissões até o quarto erro.
–
–
Passo 2
Para (a) usamos que o número de ensaios até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli é distribuído geometricamente. Assim
ou seja,
.
Passo 3
Para (b) queremos
Essa soma de cauda da geométrica dá
Passo 4
Para (c) usamos a propriedade sem memória da geométrica:
Passo 5
Para (d) a esperança da geométrica é
Passo 6
Para (e) o número de ensaios até o
-ésimo sucesso em Bernoulli é dado pela negativa binomial. Com
e
temos
ou seja,
.
Passo 7
Para (f) calculamos
Substituindo
e
:
Passo 8
Para (g) a esperança da negativa binomial é
Resposta
(a)
com
(b)
.
(c) .
(d) .
(e) com
(c)
(d)
(e)
(f)
.
(g) .
(g)