Para um determinado gás a equação da adiabática que passa por um ponto de referência (Vo, Po) é P=Po(Vo / V)^5 / 3. Além disso, o calor introduzido de forma quase-estática, a volume constante, entre os pontos (V, P1) e (V, P) vale Q1=3(P-P1) V / 2. Determine a energia interna como uma função de V e P, usando o fato de que Uo=U(Vo, Po).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás que passa por uma transformação adiabática, que é quando não rola troca de calor com o ambiente. A equação dessa transformação é $ P = P_o \left( \frac{V_o}{V} \right)^{5/3} $. Além disso, temos uma situação onde um calor $ Q_1 = \frac{3(P - P_1)V}{2} $ é introduzido mantendo o volume constante, ou seja, $ V $ não muda. Nosso objetivo é determinar a energia interna $ U $ em função de $ V $ e $ P $, usando que $ U_o = U(V_o, P_o) $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ de um gás ideal depende apenas da temperatura, mas aqui precisamos expressá-la em termos de $ V $ e $ P $. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
U
Onde $ \delta Q $ é o calor adicionado ao sistema e $ \delta W = P \mathrm{d}V $ é o trabalho realizado pelo sistema. Como vamos trabalhar com diferentes processos (adiabático e a volume constante), precisamos relacionar essas variações.

Passo 3

Vamos analisar a transformação adiabática primeiro. Nessa transformação, não há troca de calor, então $ \delta Q = 0 $. A equação dada é:
de
Isso significa que durante a adiabática, a pressão e o volume estão relacionados dessa forma específica. A constante $ \gamma = \frac{5}{3} $ indica que estamos lidando com um gás monoatômico.

Passo 4

Agora, olhemos para o processo a volume constante. Como o volume não muda, $ \mathrm{d}V = 0 $, e o trabalho $ \delta W = 0 $. A quantidade de calor adicionada é:
dV = 0
Esse calor está relacionado à mudança na energia interna, já que $ \mathrm{d}U = Q_1 $ quando $ W = 0 $.

Passo 5

Vamos estabelecer uma relação entre $ U $, $ V $ e $ P $. Sabemos que a derivada total da energia interna é:
U
Queremos encontrar $ U(V, P) V ãâçãá \delta Q = 0 $):
P
Comparando com a expressão geral para $ \mathrm{d}U $:
dU = ( partial Upartial V )P dV + ( partial Upartial P )V dP
Isso nos dá:
U(V, P)
Usando a equação adiabática para substituir $ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} $:
de
Substituindo na equação:
0 = dU + P dV

Passo 6

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para $ U(V, P) $. Vamos supor que $ U $ pode ser separada em uma função que depende apenas de $ V $ e outra que depende apenas de $ P $:
U(V, P)
Substituindo na equação anterior, e resolvendo para $ f(V) $ e $ g§ $, encontramos que a forma geral da energia interna é:
U
Aqui, $ U_o $ é a energia interna no ponto de referência $ (V_o, P_o) $.

Resposta

A energia interna em função de $ V $ e $ P $ é dada por:
V

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