Para um determinado gás a equação da adiabática que passa por um ponto de referência
é
. Além disso, o calor introduzido de forma quase-estática, a volume constante, entre os pontos
e
vale
. Determine a energia interna como uma função de
e
, usando o fato de que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um gás que passa por uma transformação adiabática, que é quando não rola troca de calor com o ambiente. A equação dessa transformação é $ P = P_o \left( \frac{V_o}{V} \right)^{5/3} $. Além disso, temos uma situação onde um calor $ Q_1 = \frac{3(P - P_1)V}{2} $ é introduzido mantendo o volume constante, ou seja, $ V $ não muda. Nosso objetivo é determinar a energia interna $ U $ em função de $ V $ e $ P $, usando que $ U_o = U(V_o, P_o) $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia interna $ U $ de um gás ideal depende apenas da temperatura, mas aqui precisamos expressá-la em termos de $ V $ e $ P $. Para isso, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
Onde $ \delta Q $ é o calor adicionado ao sistema e $ \delta W = P \mathrm{d}V $ é o trabalho realizado pelo sistema. Como vamos trabalhar com diferentes processos (adiabático e a volume constante), precisamos relacionar essas variações.
Passo 3
Vamos analisar a transformação adiabática primeiro. Nessa transformação, não há troca de calor, então $ \delta Q = 0 $. A equação dada é:
Isso significa que durante a adiabática, a pressão e o volume estão relacionados dessa forma específica. A constante $ \gamma = \frac{5}{3} $ indica que estamos lidando com um gás monoatômico.
Passo 4
Agora, olhemos para o processo a volume constante. Como o volume não muda, $ \mathrm{d}V = 0 $, e o trabalho $ \delta W = 0 $. A quantidade de calor adicionada é:
Esse calor está relacionado à mudança na energia interna, já que $ \mathrm{d}U = Q_1 $ quando $ W = 0 $.
Passo 5
Vamos estabelecer uma relação entre $ U $, $ V $ e $ P $. Sabemos que a derivada total da energia interna é:
Queremos encontrar $ U(V, P)
\delta Q = 0 $):
Comparando com a expressão geral para $ \mathrm{d}U $:
Isso nos dá:
Usando a equação adiabática para substituir $ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V} $:
Substituindo na equação:
Passo 6
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para $ U(V, P) $. Vamos supor que $ U $ pode ser separada em uma função que depende apenas de $ V $ e outra que depende apenas de $ P $:
Substituindo na equação anterior, e resolvendo para $ f(V) $ e $ g§ $, encontramos que a forma geral da energia interna é:
Aqui, $ U_o $ é a energia interna no ponto de referência $ (V_o, P_o) $.
Resposta
A energia interna em função de $ V $ e $ P $ é dada por: