Determine o valor de R, definido como o alcance medido sobre a ladeira da colina.
Expresse as suas respostas só em termos dos ângulos
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Expresse as suas respostas só em termos dos ângulos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de R, que é o alcance de um projétil lançado sobre uma ladeira de colina. Para isso, vamos precisar usar os ângulos φ (phi) e α (alpha), a velocidade inicial ν₀ e a aceleração da gravidade g. O conteúdo que vamos usar aqui é o movimento de projéteis, mas adaptado para uma superfície inclinada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o alcance R. No contexto de um projétil em uma ladeira, R é a distância que o projétil percorre ao longo da inclinação da colina antes de voltar a tocar o solo.
Passo 3
Vamos decompor a velocidade inicial ν₀ nos componentes horizontal e vertical. Supondo que o projétil é lançado com um ângulo φ em relação à horizontal:
- Componente horizontal: ν₀x = ν₀ * cos(φ)
- Componente vertical: ν₀y = ν₀ * sin(φ)
Passo 4
Como a colina está inclinada com um ângulo α, precisamos ajustar as equações para considerar essa inclinação. Vamos escolher um sistema de coordenadas onde o eixo x está alinhado com a inclinação da colina e o eixo y é perpendicular a ela.
Passo 5
No sistema inclinado, a aceleração da gravidade g também precisa ser decomposta. As componentes de g serão:
- Componente paralela à ladeira: g_parallel = g * sin(α)
- Componente perpendicular à ladeira: g_perpendicular = g * cos(α)
Passo 6
Agora, vamos ajustar as componentes da velocidade inicial ao sistema inclinado. O ângulo efetivo de lançamento em relação à ladeira será (φ - α). Então, as novas componentes da velocidade são:
- Componente ao longo da ladeira: ν₀x’ = ν₀ * cos(φ - α)
- Componente perpendicular à ladeira: ν₀y’ = ν₀ * sin(φ - α)
Passo 7
Vamos escrever as equações do movimento para o projétil no sistema inclinado. A posição ao longo da ladeira (x) e perpendicular a ela (y) são dadas por:
- x(t) = ν₀x’ * t
- y(t) = ν₀y’ * t - (1/2) * g_perpendicular * t²
Passo 8
O projétil atinge o solo novamente quando y(t) = 0. Então, vamos igualar a equação de y(t) a zero e resolver para o tempo t:
0 = ν₀y’ * t - (1/2) * g_perpendicular * t²
Fatorando t:
t ( ν₀y’ - (1/2) * g_perpendicular * t ) = 0
Uma solução é t = 0 (no lançamento) e a outra é t = (2 * ν₀y’) / g_perpendicular.
Passo 9
Substituindo ν₀y’ = ν₀ * sin(φ - α) e g_perpendicular = g * cos(α):
t = (2 * ν₀ * sin(φ - α)) / (g * cos(α))
Passo 10
Agora, vamos substituir o tempo t na equação de x(t) para encontrar o alcance R:
R = ν₀x’ * t = ν₀ * cos(φ - α) * (2 * ν₀ * sin(φ - α)) / (g * cos(α))
Passo 11
Simplificando a expressão:
R = (2 * ν₀² * sin(φ - α) * cos(φ - α)) / (g * cos(α))
Usando a identidade trigonométrica: sin(2θ) = 2 sinθ cosθ,
R = (ν₀² * sin(2(φ - α))) / (g * cos(α))
Passo 12
Prontinho! Chegamos à expressão final para o alcance R em termos dos ângulos φ e α, da velocidade inicial ν₀ e da gravidade g.
Resposta
O alcance $ R $ é dado por: