O volume de uma amostra de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para 74,3 L. A pressão e temperatura iniciais são 1,00 atm e 300 K . A pressão final é de 4,00 atm. Qual é a temperatura final?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica sobre gases ideais em um processo adiabático. Você tem um gás que está sendo comprimido sem troca de calor com o ambiente. Precisamos encontrar a temperatura final desse gás após a compressão. Para isso, vamos precisar entender as relações adiabáticas entre pressão, volume e temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor, então usamos a relação:
P1 V1^gamma = P2 V2^gamma
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume e $ \gamma $ é o índice adiabático, que depende do tipo de gás.

Passo 3

Também sabemos que a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é:
T1 V1^gamma - 1 = T2 V2^gamma - 1
Nosso objetivo é encontrar $ T_2 $, a temperatura final.

Passo 4

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ \gamma $. Podemos rearranjar a primeira equação para resolver $ \gamma $:
gamma
Vamos substituir os valores:
  • $ P_1 = 1,00 $ atm
  • $ P_2 = 4,00 $ atm
  • $ V_1 = 200 $ L
  • $ V_2 = 74,3 $ L

Passo 5

Calculando $ \gamma $:
gamma
Primeiro calculamos as divisões:
gamma = ln(4,00/1,00)ln(200/74,3)
4,001,00 = 4
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
20074,3 approx 2,696
Então, $ \gamma \approx 1,394 $.

Passo 6

Agora que temos $ \gamma $, usamos a segunda equação para encontrar $ T_2 $:
gamma
Substituindo os valores:
  • $ T_1 = 300 $ K
  • $ V_1 = 200 $ L
  • $ V_2 = 74,3 $ L
  • $ \gamma - 1 \approx 0,394 $

Passo 7

Calculando:
20074,3 approx 2,696
2,696^0,394 approx 1,428
T2 = 300 times 1,428 approx 428,4 K

Resposta

A temperatura final é aproximadamente 428,4 K.

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