O volume de uma amostra de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para
. A pressão e temperatura iniciais são 1,00 atm e 300 K . A pressão final é de
. Qual é a temperatura final?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de termodinâmica sobre gases ideais em um processo adiabático. Você tem um gás que está sendo comprimido sem troca de calor com o ambiente. Precisamos encontrar a temperatura final desse gás após a compressão. Para isso, vamos precisar entender as relações adiabáticas entre pressão, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor, então usamos a relação:
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume e $ \gamma $ é o índice adiabático, que depende do tipo de gás.
Passo 3
Também sabemos que a relação entre temperatura e volume em um processo adiabático é:
Nosso objetivo é encontrar $ T_2 $, a temperatura final.
Passo 4
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ \gamma $. Podemos rearranjar a primeira equação para resolver $ \gamma $:
Vamos substituir os valores:
- $ P_1 = 1,00 $ atm
- $ P_2 = 4,00 $ atm
- $ V_1 = 200 $ L
- $ V_2 = 74,3 $ L
Passo 5
Calculando $ \gamma $:
Primeiro calculamos as divisões:
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Então, $ \gamma \approx 1,394 $.
Passo 6
Agora que temos $ \gamma $, usamos a segunda equação para encontrar $ T_2 $:
Substituindo os valores:
- $ T_1 = 300 $ K
- $ V_1 = 200 $ L
- $ V_2 = 74,3 $ L
- $ \gamma - 1 \approx 0,394 $
Passo 7
Calculando:
Resposta
A temperatura final é aproximadamente 428,4 K.