Para um determinado grupo de apólices, o número de reclamos por apólice em um (01) ano pode ser modelado por uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 2.5.
Qual é a probabilidade de que, em dois anos, uma apólice gere mais de 2 reclamos para este grupo de apólices?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde o número de reclamos por apólice em um ano segue uma distribuição de Poisson com parâmetro igual a 2,5. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de, em dois anos, uma apólice ter mais de 2 reclamos. Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson e entender como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar nosso parâmetro para o período de dois anos. Como a distribuição de Poisson é aditiva no tempo, o parâmetro λ para dois anos será o dobro do valor anual. Então, λ = 2,5 * 2 = 5.

Passo 3

Agora, temos que encontrar a probabilidade de ter mais de 2 reclamos em dois anos. Isso significa que queremos P(X > 2), onde X segue uma distribuição de Poisson com λ = 5.

Passo 4

Para calcular P(X > 2), podemos calcular 1 menos a probabilidade de ter até 2 reclamos, ou seja, P(X ≤ 2). Assim:
P(X > 2) = 1 - P(X <= 2)

Passo 5

Vamos calcular P(X ≤ 2) somando as probabilidades de ter 0, 1 e 2 reclamos. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Então:
P(X = 0) = e^-5 cdot 5^00! = e^-5
P(X = 1) = e^-5 cdot 5^11! = 5e^-5
P(X = 2) = e^-5 cdot 5^22! = 25e^-52

Passo 6

Somando essas probabilidades:
P(X <= 2) = e^-5 + 5e^-5 + 25e^-52 = e^-5 (1 + 5 + 252)
P(X <= 2) = e^-5 cdot 372

Passo 7

Agora, calculamos P(X > 2):
P(X > 2) = 1 - 372 e^-5

Passo 8

Para obter um valor numérico, substituímos P(X > 2) = 1 - 372 times 0,006737947 por aproximadamente 0,006737947:
P(X > 2) = 1 - 0,124716
P(X > 2) = 0,875284

Resposta

A probabilidade de que, em dois anos, uma apólice gere mais de 2 reclamos é aproximadamente 87,53%.

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