Em determinado meio, o potencial elétrico é dado por
V(x)=\frac{\rho_{0}}{a \epsilon_{0}}\left(1-e^{-a x}\right)
onde \rho_{0} e a são constantes. (a) Determine a intensidade de campo elétrico, \mathbf{E}. (b) Calcule a diferença de potencial entre os pontos x=d e x=0. (c) Se a permissividade do meio é dada por \epsilon(x)=\epsilon_{0} \mathrm{e}^{a x}, encontre a densidade de fluxo elétrico, \mathbf{D}, e a densidade volumétrica de carga, \rho_{\nu}, na região. ( d ) Calcule a energia armazenada na região (0<x<d),(0<y<1),(0<z<1).

Passo 1

O enunciado fornece o potencial elétrico unidimensional
V(x)=\frac{\rho_{0}}{a\,\epsilon_{0}}\bigl(1-e^{-a x}\bigr)
e pede:
(a) o campo elétrico \mathbf{E} a partir de V, usando \mathbf{E}=-\nabla V;
(b) a diferença de potencial V(d)-V(0);
(c) o vetor deslocamento \mathbf{D}=\epsilon(x)\,\mathbf{E} com \epsilon(x)=\epsilon_{0}e^{a x} e, em seguida, a densidade volumétrica de carga livre \rho_{\nu}=\nabla\cdot\mathbf{D};
(d) a energia armazenada na região prismática de base unitária e altura d, usando densidade energética u=\tfrac12\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}.

Passo 2

Para achar \mathbf{E} basta derivar V em relação a x e aplicar \mathbf{E}=-\frac{dV}{dx}\,\hat{\mathbf{x}}. Como
\frac{dV}{dx} =\frac{\rho_{0}}{a\,\epsilon_{0}}\;\bigl(a\,e^{-a x}\bigr) =\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,e^{-a x},
vem
\mathbf{E}(x) =-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,e^{-a x}\,\hat{\mathbf{x}}.

Passo 3

A diferença de potencial entre x=d e x=0 é
V(d)-V(0) =\frac{\rho_{0}}{a\,\epsilon_{0}}\Bigl[\bigl(1-e^{-a d}\bigr) -\bigl(1-e^{0}\bigr)\Bigr] =\frac{\rho_{0}}{a\,\epsilon_{0}}\bigl(1-e^{-a d}\bigr).

Passo 4

Com \epsilon(x)=\epsilon_{0}e^{a x}, o deslocamento é
\mathbf{D}(x) =\epsilon(x)\,\mathbf{E}(x) =\epsilon_{0}e^{a x}\;\Bigl(-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,e^{-a x}\Bigr)\hat{\mathbf{x}} =-\rho_{0}\,\hat{\mathbf{x}}.
Como \mathbf{D} é constante, sua divergência é nula:
\rho_{\nu} =\nabla\cdot\mathbf{D} =\frac{d}{dx}(-\rho_{0})=0.

Passo 5

A densidade de energia é
u(x) =\tfrac12\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{D} =\tfrac12\Bigl(-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}e^{-a x}\Bigr)\bigl(-\rho_{0}\bigr) =\frac{\rho_{0}^{2}}{2\,\epsilon_{0}}\,e^{-a x}.
A energia total no volume 0<x<d,\;0<y<1,\;0<z<1 é
U =\int_{0}^{d}u(x)\,dx =\frac{\rho_{0}^{2}}{2\,\epsilon_{0}} \int_{0}^{d}e^{-a x}\,dx =\frac{\rho_{0}^{2}}{2\,\epsilon_{0}}\, \frac{1-e^{-a d}}{a}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(x)=-\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}\,e^{-a x}\,\hat{\mathbf{x}}
(b) \displaystyle V(d)-V(0)=\frac{\rho_{0}}{a\,\epsilon_{0}}\bigl(1-e^{-a d}\bigr)
(c) \displaystyle \mathbf{D}(x)=-\rho_{0}\,\hat{\mathbf{x}}, \displaystyle \rho_{\nu}=0
(d) \displaystyle U=\frac{\rho_{0}^{2}}{2\,\epsilon_{0}}\;\frac{1-e^{-a d}}{a}

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