Um meio não-condutor possui um campo elétrico radial com intensidade E=a r^{3} (simetria esférica). Obtenha a expressão para a densidade de cargas nesse meio.

Passo 1

O enunciado dá um campo elétrico de simetria esférica, radial, cuja intensidade varia com r segundo
\mathbf{E}(r)=a\,r^{3}\,\hat{r},
e pede a densidade volumétrica de carga \rho(r). Vamos usar a forma diferencial da lei de Gauss para relacionar \mathbf{E} e \rho.

Passo 2

A forma diferencial da lei de Gauss (ou equação de Maxwell–Gauss no vácuo ou em meio linear) é
\nabla\cdot \mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},
onde \varepsilon é a permissividade do meio ( \varepsilon_{0} no vácuo).

Passo 3

Para campo radial em coordenadas esféricas a divergência é
\nabla\cdot \mathbf{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_{r}\bigr),
onde E_{r}=a\,r^{3}. Substituindo,
\nabla\cdot \mathbf{E} =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}\cdot a\,r^{3}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(a\,r^{5}\bigr) =\frac{1}{r^{2}}\bigl(5a\,r^{4}\bigr) =5a\,r^{2}.

Passo 4

Usando \rho=\varepsilon\,\nabla\cdot\mathbf{E}, obtemos
\rho(r)=\varepsilon\,(5a\,r^{2})=5a\,\varepsilon\,r^{2}.

Resposta

\rho(r)=5\,a\,\varepsilon\,r^{2}.

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