Em determinado período chegam em média 1 cliente a cada 4 minutos numa loja. Tendo chegado um cliente nesta loja, qual é a probabilidade de que o próximo cliente chegue em no máximo 5 minutos admitindo-se que o tempo decorrido entre duas chegadas consecutivas tem distribuição exponencial?

Passo 1

Resumo do enunciado: chega em média 1 cliente a cada 4 minutos numa loja e o tempo entre chegadas é modelo de distribuição exponencial. Queremos a probabilidade de que, tendo acabado de chegar um cliente, o próximo apareça em no máximo 5 minutos.
Conteúdo: distribuição exponencial e sua função de distribuição acumulada (CDF).
O que precisamos:
  1. Encontrar a taxa λ da distribuição exponencial a partir da média.
  2. Aplicar a fórmula da CDF:
P(T <= t) = 1 - e^-lambda t,

Passo 2

Determinar λ.
Na exponencial, a média é E[T]=1/lambda. Como aqui E[T]=4 min, temos
lambda = 14 por minuto = 0,25,min^-1

Passo 3

Aplicar a CDF para t=5 min:
P(T <= 5) ;=; 1 - e^-lambdacdot 5 ;=; 1 - e^-,0,25times 5 ;=; 1 - e^-1,25,
Aqui usamos a teoria de que, para distribuição exponencial, a probabilidade de o tempo ser menor que um dado valor é 1-e^-lambda t.

Passo 4

Calcular numericamente:
e^-1,25approx 0,2865Longrightarrow P(T <= 5)=1-0,2865approx 0,7135

Resposta

A probabilidade de o próximo cliente chegar em no máximo 5 minutos é aproximadamente
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