O sistema de atendimento utilizado por uma central telefônica possui telefonistas para atender às chamadas dos usuários. Uma certa telefonista recebe em média 0,20 chamadas por minuto, durante um turno de trabalho de 6 horas consecutivas. Qual é a probabilidade de que esta telefonista:
b) nos primeiros 10 minutos receba no mínimo 5 chamadas? (R.: 0,0526)
b) nos primeiros 10 minutos receba no mínimo 5 chamadas? (R.: 0,0526)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar quais conceitos vamos utilizar para resolver.
Enunciado Resumido:
Uma telefonista recebe, em média, 0,20 chamadas por minuto durante um turno de 6 horas. Queremos descobrir a probabilidade de que, nos primeiros 10 minutos, ela receba no mínimo 5 chamadas.
Uma telefonista recebe, em média, 0,20 chamadas por minuto durante um turno de 6 horas. Queremos descobrir a probabilidade de que, nos primeiros 10 minutos, ela receba no mínimo 5 chamadas.
Conteúdo da Matéria:
Neste problema, vamos utilizar a Distribuição de Poisson. Essa distribuição é adequada para calcular a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente uns dos outros.
Neste problema, vamos utilizar a Distribuição de Poisson. Essa distribuição é adequada para calcular a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente uns dos outros.
O que vamos precisar para resolver:
- Compreender a Fórmula da Distribuição de Poisson.
- Calcular a taxa média de chamadas no intervalo de 10 minutos.
- Calcular a probabilidade de receber pelo menos 5 chamadas nesse intervalo.
Passo 2
Entendendo a Distribuição de Poisson:
A distribuição de Poisson é dada pela fórmula:
Onde:
- $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
- $ \lambda $ é a taxa média de eventos no intervalo considerado.
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 3
Calculando a Taxa Média ($ \lambda $):
Primeiro, precisamos determinar a taxa média de chamadas ($ \lambda $) para o intervalo de 10 minutos.
Sabemos que a telefonista recebe, em média, 0,20 chamadas por minuto. Então, em 10 minutos:
Passo 4
Definindo o que queremos calcular:
Queremos a probabilidade de receber no mínimo 5 chamadas nos primeiros 10 minutos. Isso pode ser representado por:
Mas, para facilitar o cálculo, vamos usar a propriedade complementar da probabilidade:
Ou seja, vamos calcular a probabilidade de receber até 4 chamadas e subtrair esse valor de 1.
Passo 5
Calculando $ P(X \leq 4) $:
Vamos calcular a probabilidade de receber 0, 1, 2, 3 e 4 chamadas e somar esses valores.
Usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Onde $ \lambda = 2 $.
Vamos calcular cada termo:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Somando todas as probabilidades:
Passo 6
Calculando $ P(X \geq 5) $:
Agora, usamos a propriedade complementar para encontrar a probabilidade desejada:
Resposta
A probabilidade de que a telefonista receba no mínimo 5 chamadas nos primeiros 10 minutos é aproximadamente 0,0527 (ou 5,27 %).