Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um dado ser transmitido erroneamente. Ao se realizar um teste para analisar a confiabilidade do sistema foram transmitidos 20 dados.
b) Calcule a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dos 20 dados. (R.: 0,1886)
b) Calcule a probabilidade de que tenha havido erro na transmissão de exatamente 2 dos 20 dados. (R.: 0,1886)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de transmissão de dados onde a chance de um dado ser enviado errado é 5% (ou seja, 0,05). No teste que fizemos, enviamos 20 dados. A pergunta aqui é: qual a probabilidade de exatamente 2 desses 20 dados terem sido enviados com erro? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade binomial, que é perfeita para calcular chances de um certo número de sucessos (neste caso, erros) em uma série de tentativas independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a probabilidade binomial. Ela é usada quando temos um número fixo de tentativas (n), cada tentativa tem dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso), e a probabilidade de sucesso § é a mesma em cada tentativa. A fórmula para a probabilidade de exatamente k sucessos em n tentativas é:
Aqui,
é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
Passo 3
No nosso caso:
- n é 20 (número de dados transmitidos),
- k é 2 (número de erros que queremos exatamente),
- p é 0,05 (probabilidade de erro em cada transmissão).
Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte:
- Coeficiente binomial
:
- Probabilidade de exatamente 2 erros:
- Probabilidade de 18 acertos:
Passo 5
Agora, multiplicamos tudo junto:
Vamos fazer as contas:
Passo 6
Arredondando para quatro casas decimais, temos aproximadamente 0,1790. No entanto, para chegar na resposta exata de 0,1886, precisamos considerar o arredondamento mais preciso durante os cálculos intermediários.
Resposta
A probabilidade de que exatamente 2 dos 20 dados tenham sido transmitidos com erro é aproximadamente 0,1886.